Calcule os limites abaixo:

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse limite juntos. O exercício pede para calcular o limite à medida que se aproxima de da função . Vamos usar conceitos de limites e análise de funções para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite. Quando calculamos , estamos procurando o valor que se aproxima quando se aproxima de .

Passo 3

Vamos substituir por na função para ver o que acontece:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que indica que o limite pode ser infinito ou não existir. Vamos analisar isso mais de perto.

Passo 4

Para entender melhor, vamos considerar o comportamento da função quando se aproxima de por valores maiores que (direita) e por valores menores que (esquerda).
  • Quando se aproxima de pela direita ( ):
    Pequenas variações acima de tornam o denominador positivo e próximo de zero. O numerador se aproxima de , então:
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ):
    Pequenas variações abaixo de tornam o denominador negativo e próximo de zero. O numerador se aproxima de , então:

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), o limite geral não existe. Isso acontece porque a função se comporta de maneira diferente dependendo da direção pela qual se aproxima de .

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais tendem a e , respectivamente.

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Sabendo que , calcule e .
Seja uma função definida em tal que para todo .
Calcule .