Calcule os limites abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui estamos trabalhando com limites, que fazem parte do Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções exponenciais se comportam próximo de um ponto específico e usar algumas regras de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que acontece com cada parte da fração quando
se aproxima de 0 pela direita. Sabemos que
quando
tende a 0,
. Então, o numerador
tende a 0. O denominador
também tende a 0. Então, temos uma forma indeterminada do tipo
, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite do tipo
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite das derivadas.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de 1 em relação a
é 0. - A derivada de
em relação a é .
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
Agora, vamos verificar o que acontece quando
tende a 0 nessa nova expressão. Novamente, o numerador tende a
e o denominador tende a 0, então ainda temos uma forma indeterminada
, que sugere que o limite tende a infinito. Mas vamos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente para confirmar.
Passo 5
Derivando novamente o numerador e o denominador:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 2.
Aplicando a Regra de L’Hôpital pela segunda vez:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão:
Resposta
O limite é
.
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Calcule os limites abaixo:
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Calcule os limites abaixo:
;
Seja
uma função real definida no intervalo aberto
. Mostre que se
então existe um
tal que se
e
então
.