Calcule os limites abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos trabalhando com limites, que fazem parte do Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções exponenciais se comportam próximo de um ponto específico e usar algumas regras de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece com cada parte da fração quando se aproxima de 0 pela direita. Sabemos que quando tende a 0, . Então, o numerador tende a 0. O denominador também tende a 0. Então, temos uma forma indeterminada do tipo , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite do tipo ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite das derivadas.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de 1 em relação a é 0.
  • A derivada de em relação a é .

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, temos:
Agora, vamos verificar o que acontece quando tende a 0 nessa nova expressão. Novamente, o numerador tende a e o denominador tende a 0, então ainda temos uma forma indeterminada , que sugere que o limite tende a infinito. Mas vamos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente para confirmar.

Passo 5

Derivando novamente o numerador e o denominador:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 2.
Aplicando a Regra de L’Hôpital pela segunda vez:

Passo 6

Agora, substituímos na expressão:

Resposta

O limite é .

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Calcule os limites abaixo:
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Calcule os limites abaixo: ;
Seja uma função real definida no intervalo aberto . Mostre que se então existe um tal que se e então .