Seja f: I R uma função real definida no intervalo aberto I. Mostre que se lim x a f(x)=L>0 então existe um r>0 tal que se 0<|x-a| e x in I então f(x)>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre limites de funções. Basicamente, ele quer que a gente mostre que se a função se aproxima de um número positivo quando se aproxima de , então existe um raio tal que, dentro desse raio ao redor de , a função fica sempre positiva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função. Dizemos que |f(x) - L| < varepsilon se, para qualquer pequena margem de erro , existe um intervalo ao redor de , com raio , tal que sempre que estiver dentro desse intervalo (ou seja, ), a função estará a menos de de . Em fórmula:

Passo 3

Como sabemos que |f(x) - L| < L2 , podemos escolher L2 < f(x) < 3L2 de uma forma que nos ajude a garantir que seja positivo. Vamos escolher . Assim, a condição fica:
Isso significa que está entre e :

Passo 4

Agora, sabemos que , já que . Então, se garantirmos que , automaticamente teremos .
De acordo com a definição do limite, com , existe um tal que sempre que e , temos , o que implica .

Resposta

Portanto, existe um raio tal que, se e , então .

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