Seja
uma função real definida no intervalo aberto
. Mostre que se
então existe um
tal que se
e
então
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre limites de funções. Basicamente, ele quer que a gente mostre que se a função
se aproxima de um número positivo
quando
se aproxima de
, então existe um raio
tal que, dentro desse raio ao redor de
, a função
fica sempre positiva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função. Dizemos que
se, para qualquer pequena margem de erro
, existe um intervalo ao redor de
, com raio
, tal que sempre que
estiver dentro desse intervalo (ou seja,
), a função
estará a menos de
de
. Em fórmula:
Passo 3
Como sabemos que
, podemos escolher
de uma forma que nos ajude a garantir que
seja positivo. Vamos escolher
. Assim, a condição fica:
Isso significa que
está entre
e
:
Passo 4
Agora, sabemos que
, já que
. Então, se garantirmos que
, automaticamente teremos
.
De acordo com a definição do limite, com
, existe um
tal que sempre que
e
, temos
, o que implica
.
Resposta
Portanto, existe um raio
tal que, se
e
, então
.
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