Calcule os limites abaixo: ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente a tangente ( ) e o seno ( ). Para resolver esse limite, vamos precisar usar identidades trigonométricas básicas e propriedades dos limites.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a função tangente em termos de seno e cosseno. Sabemos que:
Substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que:
Substituindo essa identidade na expressão:

Passo 4

Agora, podemos calcular o limite substituindo :
Sabemos que , então:

Resposta

O limite é igual a .

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Calcule os limites abaixo: ;
Calcule os limites abaixo:
Seja uma função real definida no intervalo aberto . Mostre que se então existe um tal que se e então .
Calcule os limites abaixo: