Calcule os limites abaixo:
lim x 0(1x^2-1x^2+x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de limites, uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver, vamos manipular as frações e simplificar a expressão para encontrar o valor que a função se aproxima quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos juntar as duas frações em uma única fração. Para isso, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre 1x^2 = x^2 + xx^2(x^2 + x) e 1x^2 + x = x^2x^2(x^2 + x) é . Vamos reescrever cada termo com esse denominador:

Passo 3

Agora, subtraímos as duas frações:
x^2 + xx^2(x^2 + x) - x^2x^2(x^2 + x) = (x^2 + x) - x^2x^2(x^2 + x)
Simplificando o numerador:
(x^2 + x) - x^2 = x
Então, a expressão fica:
xx^2(x^2 + x)

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. No denominador, podemos fatorar um x^2(x^2 + x) = x^2 cdot x(x + 1) = x^3(x + 1) :
xx^3(x + 1) = 1x^2(x + 1)
Portanto, a expressão agora é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limx to 0 1x^2(x + 1) tende a 0:
10^2(0 + 1) = 10 cdot 1 = 10
Substituindo :

Passo 6

A expressão indica que o limite tende para o infinito. Mais especificamente, como o denominador se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda, o limite tende a .

Resposta

O limite é .

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