Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando
se aproxima de
da função
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor
diretamente na expressão para ver o que acontece:
A divisão por zero não está definida, o que significa que precisamos analisar mais a fundo o comportamento da função perto de
.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador
. Esse é um caso clássico de diferença de quadrados, que pode ser fatorado assim:
Então, a expressão original fica:
Passo 4
Agora, observe que
está no denominador e, quando
se aproxima de
,
se aproxima de zero, causando a indeterminação que vimos no Passo 2. Para entender o comportamento do limite, vamos analisar os sinais de
à medida que
se aproxima de
pela esquerda e pela direita.
Passo 5
Quando
se aproxima de
pela esquerda (
):
-
é um número negativo pequeno. -
é negativo, já que está próximo de .
Portanto, o denominador é a multiplicação de dois números negativos, que dá um número positivo pequeno. O numerador
é negativo (
).
Assim, a fração fica negativa e seu valor tende a
.
Passo 6
Quando
se aproxima de
pela direita (
):
-
é um número positivo pequeno. -
ainda é negativo.
Nesse caso, o denominador é a multiplicação de um negativo e um positivo, resultando em um número negativo pequeno. O numerador
continua negativo.
Assim, a fração fica positiva e seu valor tende a
.
Passo 7
Como os limites laterais são diferentes (um tende a
e o outro a
), o limite geral não existe em termos de um número real. Dizemos que o limite tende a
, indicando uma assimptota vertical em
.
Resposta
O limite não existe, pois tende a
pela esquerda e a
pela direita.
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e
séries de potências. Determine os intervalos de convergência e divergência das séries.
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