Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando se aproxima de da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor diretamente na expressão para ver o que acontece:
A divisão por zero não está definida, o que significa que precisamos analisar mais a fundo o comportamento da função perto de .

Passo 3

Vamos fatorar o denominador . Esse é um caso clássico de diferença de quadrados, que pode ser fatorado assim:
Então, a expressão original fica:

Passo 4

Agora, observe que está no denominador e, quando se aproxima de , se aproxima de zero, causando a indeterminação que vimos no Passo 2. Para entender o comportamento do limite, vamos analisar os sinais de à medida que se aproxima de pela esquerda e pela direita.

Passo 5

Quando se aproxima de pela esquerda ( ):
  • é um número negativo pequeno.
  • é negativo, já que está próximo de .
Portanto, o denominador é a multiplicação de dois números negativos, que dá um número positivo pequeno. O numerador é negativo ( ).
Assim, a fração fica negativa e seu valor tende a .

Passo 6

Quando se aproxima de pela direita ( ):
  • é um número positivo pequeno.
  • ainda é negativo.
Nesse caso, o denominador é a multiplicação de um negativo e um positivo, resultando em um número negativo pequeno. O numerador continua negativo.
Assim, a fração fica positiva e seu valor tende a .

Passo 7

Como os limites laterais são diferentes (um tende a e o outro a ), o limite geral não existe em termos de um número real. Dizemos que o limite tende a , indicando uma assimptota vertical em .

Resposta

O limite não existe, pois tende a pela esquerda e a pela direita.

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