Seja f(x) = { x^2 - 1, se |x| <= 1; 1 - x^2, se |x| > 1 } Calcular f'(-1-) f'(-1+) f'(1-)e f'(1+).

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é definida de duas maneiras dependendo do valor de . Queremos calcular as derivadas de à esquerda e à direita nos pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas laterais, que nos ajuda a entender como a função está mudando quando nos aproximamos de um ponto por diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , ou seja, a derivada de quando nos aproximamos de vindo da esquerda.
Para , a função é . Então, a derivada dessa parte é:
Avaliamo isso em :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular , que é a derivada de quando nos aproximamos de vindo da direita.
Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Avaliamo isso em :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular , a derivada de quando nos aproximamos de vindo da esquerda.
Para , a função é . A derivada dessa parte já calculamos:
Avaliamo isso em :
Então, .

Passo 5

Finalmente, vamos calcular , a derivada de quando nos aproximamos de vindo da direita.
Para , a função é . A derivada dessa parte é:
Avaliamo isso em :
Então, .

Resposta

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