Calcule os limites abaixo:
lim x 1 x^2+3 x-4x^2-1

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo de limite. Precisamos encontrar o valor de:
lim x 1 x^2+3x-4x^2-1
Para isso, vamos utilizar conhecimentos de álgebra para simplificar a expressão e aplicar as regras de limites.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir 1^2 + 3 cdot 1 - 41^2 - 1 = 1 + 3 - 41 - 1 = 00 diretamente na expressão:
Obtemos uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum.
Numerador: x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)
Procuramos dois números que multiplicados dão -4 e somados dão +3. Esses números são +4 e -1.
Então, o numerador pode ser fatorado assim:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Denominador:
Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como:

Passo 4

Substituímos as fatorações na expressão original:
(x + 4)(x - 1)(x - 1)(x + 1)
Podemos cancelar o fator comum x + 4x + 1 :

Passo 5

Agora, substituímos 1 + 41 + 1 = 52 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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