Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 2 x (parte interna) e por:
(2.1) parabolóide z = 4 - x^2 - y^2 e o plano z = 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que está limitado pelo cilindro (a parte interna desse cilindro) e pelas superfícies (um parabolóide) e o plano (o plano xy). Vamos usar integrais triplas para achar esse volume. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração em cada direção (x, y e z) e configurar a integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro . Podemos rearranjar essa equação completando o quadrado para facilitar o entendimento:
Isso mostra que o cilindro é na verdade um cilindro circular de raio 1, centrado em no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, já que a simetria do cilindro facilita esse processo. Em coordenadas cilíndricas, temos:
O raio vai de 0 a 1 (raio do cilindro) e vai de 0 a .
A altura varia desde o plano até o parabolóide . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla para o volume :
Aqui, é o fator de escala em coordenadas cilíndricas que aparece no Jacobiano da transformação.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Integrando termo a termo:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :
Sabemos que , então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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