Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro (parte interna) e por:
(2.1) parabolóide e o plano
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que está limitado pelo cilindro (a parte interna desse cilindro) e pelas superfícies (um parabolóide) e o plano (o plano xy). Vamos usar integrais triplas para achar esse volume. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração em cada direção (x, y e z) e configurar a integral corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do cilindro . Podemos rearranjar essa equação completando o quadrado para facilitar o entendimento:
Isso mostra que o cilindro é na verdade um cilindro circular de raio 1, centrado em no plano xy.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, já que a simetria do cilindro facilita esse processo. Em coordenadas cilíndricas, temos:
O raio vai de 0 a 1 (raio do cilindro) e vai de 0 a .
A altura varia desde o plano até o parabolóide . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla para o volume :
Aqui, é o fator de escala em coordenadas cilíndricas que aparece no Jacobiano da transformação.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :