Calcule os limites abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites, funções trigonométricas (nesse caso, o seno) e propriedades dos valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a função
quando
se aproxima de 0. Conforme
fica cada vez menor,
cresce sem limites, o que faz o seno oscilar rapidinho entre -1 e 1. Isso significa que o valor de
está sempre entre -1 e 1.
Passo 3
Como estamos trabalhando com o valor absoluto de
, a expressão
ficará sempre entre 0 e 1:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por
, que é sempre positivo independente de
(exceto em
, mas estamos olhando o limite quando
se aproxima de 0):
Passo 5
Sabemos que
. Como
está entre 0 e
, podemos aplicar o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperta) que nos diz que se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
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Considere a função
dada por
. Dado
, mostre que existe
tal que
.
A função
dada por
possui limite quando
? Justifique sua resposta.
Determine o domínio das funções abaixo.
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