Calcule os limites abaixo. ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre limites, funções trigonométricas (nesse caso, o seno) e propriedades dos valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a função quando se aproxima de 0. Conforme fica cada vez menor, cresce sem limites, o que faz o seno oscilar rapidinho entre -1 e 1. Isso significa que o valor de está sempre entre -1 e 1.

Passo 3

Como estamos trabalhando com o valor absoluto de , a expressão ficará sempre entre 0 e 1:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por , que é sempre positivo independente de (exceto em , mas estamos olhando o limite quando se aproxima de 0):

Passo 5

Sabemos que . Como está entre 0 e , podemos aplicar o Teorema do Sanduíche (também conhecido como Teorema da Aperta) que nos diz que se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.

Resposta

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Calcule os limites abaixo. ;
Considere a função dada por . Dado , mostre que existe tal que .
A função dada por
possui limite quando ? Justifique sua resposta.
Determine o domínio das funções abaixo. ;