Calcule os limites abaixo.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está dentro do conteúdo de limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece se substituirmos
por 64 diretamente na expressão.
No numerador:
, então
.
No denominador:
, então
.
Então, ao substituir, temos
, o que indica que o limite pode tender para o infinito ou menos infinito. Mas precisamos confirmar qual.
Passo 3
Para entender para qual infinito o limite está tendendo, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 64 por valores maiores e menores que 64.
-
Se
se aproxima de 64 por valores maiores que 64 (ou seja, ): -
será um pouco maior que 8, então será positivo. -
será um pouco maior que 4, então será positivo. - Portanto,
é positivo.
-
-
Se
se aproxima de 64 por valores menores que 64 (ou seja, ): -
será um pouco menor que 8, então será negativo. -
será um pouco menor que 4, então será positivo. - Portanto,
é negativo.
-
No entanto, como estamos lidando com
, a função tende a crescer sem limites à medida que o denominador se aproxima de zero. Com base na análise acima, o limite tende para
quando
se aproxima de 64 por valores maiores e para
quando se aproxima por valores menores.
Passo 4
Como o limite tende para valores extremamente grandes em magnitude, podemos concluir que o limite não existe de forma finita, mas podemos descrevê-lo como infinito. Dependendo da direção de aproximação, ele tende para
ou
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
. Dado
, mostre que existe
tal que
.
Mostre que a equação
possui, pelo menos, duas soluções reais.
Calcule os limites abaixo.
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A função
dada por
possui limite quando
? Justifique sua resposta.