Considere a função f: R -> R dada por f(x) = x + raiz(x^2 + 9). Dado d in [3,9], mostre que existe c in [0, 4] tal que f(c) = d.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para qualquer número entre 3 e 9, existe um número entre 0 e 4 que, quando a gente coloca no função , o resultado é exatamente . Isso está ligado ao estudo de funções contínuas e ao Teorema do Valor Intermediário, que a gente vai usar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Essa função soma com a raiz quadrada de . É importante notar que a função da raiz quadrada está bem definida para qualquer número real, já que dentro da raiz sempre teremos um número positivo devido ao .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é contínua no intervalo que estamos interessados, que é de 0 a 4. Uma função é contínua se não tem quebras, saltos ou interrupções no seu gráfico. Tanto a função identidade quanto a função raiz quadrada são contínuas, e a soma de duas funções contínuas também é contínua. Portanto, é contínua em .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo para ver onde ela começa e termina.
Quando :
Quando :

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo e é um número entre e , então existe pelo menos um em tal que .
No nosso caso, é contínua em , e . Como está entre 3 e 9, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um número no intervalo que satisfaz .

Resposta

Portanto, existe um número em tal que .

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