Considere a função
dada por
. Dado
, mostre que existe
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para qualquer número
entre 3 e 9, existe um número
entre 0 e 4 que, quando a gente coloca no função
, o resultado é exatamente
. Isso está ligado ao estudo de funções contínuas e ao Teorema do Valor Intermediário, que a gente vai usar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função
. Essa função soma
com a raiz quadrada de
. É importante notar que a função da raiz quadrada está bem definida para qualquer número real, já que dentro da raiz sempre teremos um número positivo devido ao
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é contínua no intervalo que estamos interessados, que é de 0 a 4. Uma função é contínua se não tem quebras, saltos ou interrupções no seu gráfico. Tanto a função identidade
quanto a função raiz quadrada são contínuas, e a soma de duas funções contínuas também é contínua. Portanto,
é contínua em
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo para ver onde ela começa e termina.
Quando
:
Quando
:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função é contínua em um intervalo
e
é um número entre
e
, então existe pelo menos um
em
tal que
.
No nosso caso,
é contínua em
,
e
. Como
está entre 3 e 9, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um número
no intervalo
que satisfaz
.
Resposta
Portanto, existe um número
em
tal que
.
Exercícios relacionados
Mostre que a equação
possui, pelo menos, duas soluções reais.
Encontre a área da região entre as curvas
e
.
Escolha uma opção:
a. -9
b. 9
c. 27
d. -27
e. 0
Escolha uma opção:
a. -9
b. 9
c. 27
d. -27
e. 0
Calcule os limites abaixo.
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Calcule os limites abaixo.
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