Determine o domínio das funções abaixo. f(x) = raiz(x / (x + 1));

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o domínio da função . Aqui, estamos trabalhando com funções que envolvem raízes e frações, então vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como garantir que a expressão dentro da raiz seja válida.

Passo 2

Primeiro, para a função estar definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, temos que:
Isso nos garante que a raiz quadrada vai resultar em um número real.

Passo 3

Além disso, precisamos garantir que o denominador da fração nunca seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, temos que:

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação . Para isso, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador:
  1. Quando :
    • é negativo.
    • também é negativo.
    • O quociente, então, é positivo ( ).
  2. Quando :
    • é negativo.
    • é positivo.
    • O quociente é negativo ( ).
  3. Quando :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • O quociente é positivo ( ).

Passo 5

Com base nisso, a inequação é satisfeita quando o quociente é positivo ou zero. Observamos que:
  • Para , o quociente é positivo.
  • Para , o quociente é zero ( ), que também satisfaz a condição.
  • Para , o quociente é positivo.
Lembrando que não está no domínio porque o denominador seria zero.

Resposta

Portanto, o domínio da função é:

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