Determine o domínio das funções abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o domínio da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções que envolvem raízes e frações, então vamos precisar usar um pouco de álgebra e entender como garantir que a expressão dentro da raiz seja válida.
Passo 2
Primeiro, para a função
estar definida, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja, temos que:
Isso nos garante que a raiz quadrada vai resultar em um número real.
Passo 3
Além disso, precisamos garantir que o denominador da fração nunca seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Então, temos que:
Passo 4
Agora, vamos resolver a inequação
. Para isso, vamos analisar os sinais do numerador e do denominador:
-
Quando
: -
é negativo. -
também é negativo. - O quociente, então, é positivo (
).
-
-
Quando
: -
é negativo. -
é positivo. - O quociente é negativo (
).
-
-
Quando
: -
é positivo. -
é positivo. - O quociente é positivo (
).
-
Passo 5
Com base nisso, a inequação
é satisfeita quando o quociente é positivo ou zero. Observamos que:
- Para
, o quociente é positivo. - Para
, o quociente é zero ( ), que também satisfaz a condição. - Para
, o quociente é positivo.
Lembrando que
não está no domínio porque o denominador seria zero.
Resposta
Portanto, o domínio da função
é: