Calcule os limites abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite dessa função quando
se aproxima de 1. Estamos lidando com uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração:
. Queremos ver se conseguimos fatorar esse polinômio, especialmente procurando por
, já que ele está no denominador. Se
for um fator do numerador, podemos simplificar a fração.
Passo 3
Para verificar se
é um fator de
, usamos o Teorema do Fator, que diz que se substituirmos
pelo valor que zera o fator (neste caso, 1), o resultado deve ser zero.
Vamos substituir:
Como o resultado é zero, isso confirma que
é realmente um fator de
.
Passo 4
Agora que sabemos que
é um fator, vamos realizar a divisão do polinômio
por
para encontrar os outros fatores. Podemos usar a divisão polinomial para isso.
Dividindo
por
, obtemos:
Passo 5
Com a fatoração feita, podemos simplificar a fração original:
Aqui, o
no numerador e no denominador se cancelam, desde que
, o que nos permite reescrever a expressão simplificada como:
Passo 6
Agora que a expressão está simplificada, podemos calcular o limite substituindo
por 1:
Resposta
O limite é igual a 4.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja
, considere as sequências
e
tais que
Mostre que
e
têm o mesmo limite.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.