Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
lim n +infty raiz[n]10=1.

Passo 1

Então, a gente tem que provar que o limite de quando tende ao infinito é igual a 1. A matéria que vamos usar para resolver isso é a Desigualdade de Bernoulli. Vamos precisar entender essa desigualdade e como aplicá-la para calcular limites envolvendo raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade de Bernoulli. Ela diz que para qualquer número real (1 + x)^n >= 1 + nx e inteiro :
Essa desigualdade é útil para estimar expressões com potências.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de limn to infty 10^1/n quando vai para infinito. Primeiro, podemos reescrever como . Então, nosso objetivo é encontrar:

Passo 4

Vamos usar a Desigualdade de Bernoulli para aproximar 10^1/n = (1 + 9)^1/n . Escrevendo (1 + 9)^1/n >= 1 + 9n como 10^1/n >= 1 + 9n , temos:
Aplicando a Desigualdade de Bernoulli com e , obtemos:
Então:

Passo 5

À medida que limn to infty (1 + 9n) = 1 tende ao infinito, o termo se aproxima de 0. Portanto, temos que:
E como é sempre maior ou igual a , o limite de também deve ser pelo menos 1.

Passo 6

Além disso, sabemos que qualquer raiz limn to infty 10^1/n = 1 -ésima de um número positivo converge para 1 quando tende ao infinito. Portanto, combinando isso com nossa desigualdade, concluímos que:

Resposta

limn +infty raiz[n]10 = 1

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