Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.

Passo 1

Então, a gente tem que provar que o limite de quando tende ao infinito é igual a 1. A matéria que vamos usar para resolver isso é a Desigualdade de Bernoulli. Vamos precisar entender essa desigualdade e como aplicá-la para calcular limites envolvendo raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade de Bernoulli. Ela diz que para qualquer número real e inteiro :
Essa desigualdade é útil para estimar expressões com potências.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de quando vai para infinito. Primeiro, podemos reescrever como . Então, nosso objetivo é encontrar:

Passo 4

Vamos usar a Desigualdade de Bernoulli para aproximar . Escrevendo como , temos:
Aplicando a Desigualdade de Bernoulli com e , obtemos:
Então:

Passo 5

À medida que tende ao infinito, o termo se aproxima de 0. Portanto, temos que:
E como é sempre maior ou igual a , o limite de também deve ser pelo menos 1.

Passo 6

Além disso, sabemos que qualquer raiz -ésima de um número positivo converge para 1 quando tende ao infinito. Portanto, combinando isso com nossa desigualdade, concluímos que:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Calcule os limites abaixo.
.
Dada a sequência definida por
A sequência é limitada para ?
Inverter a ordem de integração. .