Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Passo 1
Então, a gente tem que provar que o limite de
quando
tende ao infinito é igual a 1. A matéria que vamos usar para resolver isso é a Desigualdade de Bernoulli. Vamos precisar entender essa desigualdade e como aplicá-la para calcular limites envolvendo raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade de Bernoulli. Ela diz que para qualquer número real
e inteiro
:
Essa desigualdade é útil para estimar expressões com potências.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
vai para infinito. Primeiro, podemos reescrever
como
. Então, nosso objetivo é encontrar:
Passo 4
Vamos usar a Desigualdade de Bernoulli para aproximar
. Escrevendo
como
, temos:
Aplicando a Desigualdade de Bernoulli com
e
, obtemos:
Então:
Passo 5
À medida que
tende ao infinito, o termo
se aproxima de 0. Portanto, temos que:
E como
é sempre maior ou igual a
, o limite de
também deve ser pelo menos 1.
Passo 6
Além disso, sabemos que qualquer raiz
-ésima de um número positivo converge para 1 quando
tende ao infinito. Portanto, combinando isso com nossa desigualdade, concluímos que:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Calcule os limites abaixo.
.
Dada a sequência
definida por
A sequência
é limitada para
?
Inverter a ordem de integração.
.