Seja a, b em R+, considere as sequências x_n e y_n tais que
x1 = raiz(a * b), y1 = (a + b) / 2
x_{n+1} = raiz(x_n * y_n), y_{n+1} = (x_n + y_n) / 2
Mostre que x_n e y_n têm o mesmo limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas sequências, x_n e y_n, definidas de forma recursiva a partir de dois números reais positivos a e b. O objetivo é mostrar que essas duas sequências acabam chegando no mesmo valor quando n tende ao infinito, ou seja, elas têm o mesmo limite.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sucessões e limites, além de usar propriedades de sequências monótonas (que sempre crescem ou sempre decrescem) e sequências convergentes (que têm um limite definido).

Passo 2

Primeiro, vamos observar as definições iniciais das sequências:
E as regras para gerar os próximos termos:
Notamos que é a média aritmética de e , e x_n+1 é a média geométrica desses mesmos termos.

Passo 3

Vamos analisar como as sequências se comportam. Sabemos que para números positivos, a média geométrica é sempre menor ou igual à média aritmética. Ou seja:
Isso nos mostra que, a partir do segundo termo, sempre temos para todo .

Passo 4

Agora, vamos ver se as sequências são monótonas:
  • Sequência x_n: Cada termo x_n+1 é a média geométrica entre e . Como , temos que . Portanto, a sequência x_n é crescente.
  • Sequência y_n: Cada termo é a média aritmética entre e . Novamente, como , temos que . Portanto, a sequência y_n é decrescente.

Passo 5

Com isso, temos que:
  • x_n é uma sequência crescente.
  • y_n é uma sequência decrescente.
  • Para todo n, .
Essas propriedades nos permitem aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperfeiçoamento), que afirma que se uma sequência crescente está sempre abaixo de uma sequência decrescente e ambas são limitadas, então as duas sequências convergem para o mesmo limite.

Passo 6

Como ambas as sequências estão confinadas entre e e são monótonas (uma crescente e outra decrescente), elas devem ter limites. Pelo Teorema do Confronto, esses limites devem ser iguais.
Assim, existe um número real L tal que:

Resposta

Portanto, as sequências x_n e y_n convergem para o mesmo limite L.

Exercícios relacionados