Seja
, considere as sequências
e
tais que
Mostre que
e
têm o mesmo limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas sequências,
e
, definidas de forma recursiva a partir de dois números reais positivos
e
. O objetivo é mostrar que essas duas sequências acabam chegando no mesmo valor quando
tende ao infinito, ou seja, elas têm o mesmo limite.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sucessões e limites, além de usar propriedades de sequências monótonas (que sempre crescem ou sempre decrescem) e sequências convergentes (que têm um limite definido).
Passo 2
Primeiro, vamos observar as definições iniciais das sequências:
E as regras para gerar os próximos termos:
Notamos que
é a média aritmética de
e
, e
é a média geométrica desses mesmos termos.
Passo 3
Vamos analisar como as sequências se comportam. Sabemos que para números positivos, a média geométrica é sempre menor ou igual à média aritmética. Ou seja:
Isso nos mostra que, a partir do segundo termo, sempre temos
para todo
.
Passo 4
Agora, vamos ver se as sequências são monótonas:
-
Sequência
: Cada termo é a média geométrica entre e . Como , temos que . Portanto, a sequência é crescente. -
Sequência
: Cada termo é a média aritmética entre e . Novamente, como , temos que . Portanto, a sequência é decrescente.
Passo 5
Com isso, temos que:
-
é uma sequência crescente. -
é uma sequência decrescente. - Para todo
, .
Essas propriedades nos permitem aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperfeiçoamento), que afirma que se uma sequência crescente está sempre abaixo de uma sequência decrescente e ambas são limitadas, então as duas sequências convergem para o mesmo limite.
Passo 6
Como ambas as sequências estão confinadas entre
e
e são monótonas (uma crescente e outra decrescente), elas devem ter limites. Pelo Teorema do Confronto, esses limites devem ser iguais.
Assim, existe um número real
tal que:
Resposta
Portanto, as sequências
e
convergem para o mesmo limite
.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
O conjunto
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Calcule os limites abaixo.
.