Seja , considere as sequências e tais que
Mostre que e têm o mesmo limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas sequências, e , definidas de forma recursiva a partir de dois números reais positivos e . O objetivo é mostrar que essas duas sequências acabam chegando no mesmo valor quando tende ao infinito, ou seja, elas têm o mesmo limite.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sucessões e limites, além de usar propriedades de sequências monótonas (que sempre crescem ou sempre decrescem) e sequências convergentes (que têm um limite definido).

Passo 2

Primeiro, vamos observar as definições iniciais das sequências:
E as regras para gerar os próximos termos:
Notamos que é a média aritmética de e , e é a média geométrica desses mesmos termos.

Passo 3

Vamos analisar como as sequências se comportam. Sabemos que para números positivos, a média geométrica é sempre menor ou igual à média aritmética. Ou seja:
Isso nos mostra que, a partir do segundo termo, sempre temos para todo .

Passo 4

Agora, vamos ver se as sequências são monótonas:
  • Sequência : Cada termo é a média geométrica entre e . Como , temos que . Portanto, a sequência é crescente.
  • Sequência : Cada termo é a média aritmética entre e . Novamente, como , temos que . Portanto, a sequência é decrescente.

Passo 5

Com isso, temos que:
  • é uma sequência crescente.
  • é uma sequência decrescente.
  • Para todo , .
Essas propriedades nos permitem aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperfeiçoamento), que afirma que se uma sequência crescente está sempre abaixo de uma sequência decrescente e ambas são limitadas, então as duas sequências convergem para o mesmo limite.

Passo 6

Como ambas as sequências estão confinadas entre e e são monótonas (uma crescente e outra decrescente), elas devem ter limites. Pelo Teorema do Confronto, esses limites devem ser iguais.
Assim, existe um número real tal que:

Resposta

Portanto, as sequências e convergem para o mesmo limite .

Exercícios relacionados

Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove que :
O conjunto não é limitado superiormente.
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Calcule os limites abaixo.
.