Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a raiz da função em um intervalo com comprimento de 0,5. Isso envolve conhecimentos de Análise de Funções e Métodos Numéricos. Para isso, vamos precisar entender como identificar onde a função cruza o eixo das abscissas (onde ) e delimitar um intervalo específico onde isso ocorre.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma raiz de uma função. A raiz de é o valor de que faz . Então, queremos achar o ponto onde .

Passo 3

Para encontrar essa raiz, uma abordagem comum é usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos diz que se é contínua em um intervalo e e têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Vamos escolher alguns valores para e calcular para identificar onde a função muda de sinal. Isso nos ajudará a delimitar o intervalo onde a raiz está localizada.

Passo 5

Calculando :
Agora, calculando (onde ):
Aqui, vemos que e . Os sinais são opostos, então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz entre 0 e .

Passo 6

Para atender ao requisito de ter um intervalo de comprimento 0,5, precisamos encontrar subintervalos dentro de [0, ] onde a função muda de sinal e que tenham um tamanho de, no máximo, 0,5.

Passo 7

Vamos dividir o intervalo [0, ] em subintervalos de 0,5:
  1. [0, 0,5]
  2. [0,5, 1,0]
  3. [1,0, 1,5]
  4. [1,5, 2,0]
  5. [2,0, ]

Passo 8

Agora, vamos calcular em cada ponto final desses subintervalos:

Passo 9

Observando os sinais:
  • Entre 0,0 e 0,5: e (sinais iguais)
  • Entre 0,5 e 1,0: e (sinais iguais)
  • Entre 1,0 e 1,5: e (sinais opostos)
Portanto, a raiz está no intervalo [1,0, 1,5], que tem comprimento 0,5.

Resposta

A raiz da função está localizada no intervalo .

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Calcule os limites abaixo.
.
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Dada a sequência definida por
A sequência é limitada para ?