Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a raiz da função
em um intervalo com comprimento de 0,5. Isso envolve conhecimentos de Análise de Funções e Métodos Numéricos. Para isso, vamos precisar entender como identificar onde a função cruza o eixo das abscissas (onde
) e delimitar um intervalo específico onde isso ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma raiz de uma função. A raiz de
é o valor de
que faz
. Então, queremos achar o ponto onde
.
Passo 3
Para encontrar essa raiz, uma abordagem comum é usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos diz que se
é contínua em um intervalo
e
e
têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Vamos escolher alguns valores para
e calcular
para identificar onde a função muda de sinal. Isso nos ajudará a delimitar o intervalo onde a raiz está localizada.
Passo 5
Calculando
:
Agora, calculando
(onde
):
Aqui, vemos que
e
. Os sinais são opostos, então, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz entre 0 e
.
Passo 6
Para atender ao requisito de ter um intervalo de comprimento 0,5, precisamos encontrar subintervalos dentro de [0,
] onde a função muda de sinal e que tenham um tamanho de, no máximo, 0,5.
Passo 7
Vamos dividir o intervalo [0,
] em subintervalos de 0,5:
- [0, 0,5]
- [0,5, 1,0]
- [1,0, 1,5]
- [1,5, 2,0]
- [2,0,
]
Passo 8
Agora, vamos calcular
em cada ponto final desses subintervalos:
Passo 9
Observando os sinais:
- Entre 0,0 e 0,5:
e (sinais iguais) - Entre 0,5 e 1,0:
e (sinais iguais) - Entre 1,0 e 1,5:
e (sinais opostos)
Portanto, a raiz está no intervalo [1,0, 1,5], que tem comprimento 0,5.
Resposta
A raiz da função
está localizada no intervalo
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Dada a sequência
definida por
A sequência
é limitada para
?