Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a raiz da função
com uma precisão de
. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções, logaritmos e métodos de aproximação de raízes, como o Método da Bisseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a raiz da função
. A raiz é o valor de
que faz com que
. Neste caso, queremos encontrar
tal que:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos utilizar o Método da Bisseção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções contínuas. Esse método consiste em selecionar um intervalo onde a função muda de sinal (ou seja,
e
têm sinais opostos) e, iterativamente, reduzir esse intervalo até que a raiz seja encontrada com a precisão desejada.
Passo 4
Primeiro, precisamos escolher um intervalo inicial
onde a função muda de sinal. Vamos testar alguns valores:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Observamos que
é negativo e
é positivo. Portanto, a raiz está no intervalo
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Método da Bisseção:
-
Calcular o ponto médio do intervalo
: -
Avaliar
: -
Como
, a raiz está no intervalo .
Passo 6
Repetimos o processo para o intervalo
:
-
Calcular o ponto médio:
-
Avaliar
: -
Como
, a raiz está no intervalo .
Passo 7
Continuamos com o intervalo
:
-
Ponto médio:
-
Avaliar
: -
Como
, a raiz está no intervalo .
Passo 8
Agora, para o intervalo
:
-
Ponto médio:
-
Avaliar
: -
Como
, a raiz está no intervalo .
Passo 9
Continuamos com o intervalo
:
-
Ponto médio:
-
Avaliar
: -
Como
, a raiz está no intervalo .
Passo 10
Agora, para o intervalo
:
-
Ponto médio:
-
Avaliar
: -
Como
, a raiz está no intervalo .
Passo 11
Finalmente, verificamos o intervalo
:
-
Ponto médio:
-
Avaliar
: -
Como
, a raiz está no intervalo .
Resposta
A raiz aproximada da função
com precisão de
é
.
Exercícios relacionados
Seja
, considere as sequências
e
tais que
Mostre que
e
têm o mesmo limite.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Calcule os limites abaixo.
.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.