Calcule os limites abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de
quando
se aproxima de
pela direita (ou seja,
). Vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções próximas de certos pontos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
está se aproximando de
, mas sempre por valores positivos, ou seja, números bem pequenos positivos, como 0.1, 0.01, 0.001, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador da fração:
. Podemos fatorar esse termo para facilitar a análise:
Mas para
próximo de
,
será próximo de
, então podemos pensar em
.
Passo 4
Então, a fração original
pode ser aproximada por:
Agora, precisamos entender o comportamento de
quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 5
Quando
fica cada vez menor e positivo, o valor de
aumenta sem limite, ou seja, tende ao infinito positivo. Como temos um sinal negativo,
tende ao infinito negativo.
Resposta
Portanto, o limite é:
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Calcule os limites abaixo:
Seja
uma função real definida no intervalo aberto
. Mostre que se
então existe um
tal que se
e
então
.
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
Seja
uma função definida em
e suponha que exista
tal que
para todo
. Prove, usando a definição de função contínua, que
é contínua em
. Exiba outra maneira de mostrar este resultado.