Calcule os limites abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite de quando se aproxima de pela direita (ou seja, ). Vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções próximas de certos pontos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que está se aproximando de , mas sempre por valores positivos, ou seja, números bem pequenos positivos, como 0.1, 0.01, 0.001, e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da fração: . Podemos fatorar esse termo para facilitar a análise:
Mas para próximo de , será próximo de , então podemos pensar em .

Passo 4

Então, a fração original pode ser aproximada por:
Agora, precisamos entender o comportamento de quando se aproxima de pela direita.

Passo 5

Quando fica cada vez menor e positivo, o valor de aumenta sem limite, ou seja, tende ao infinito positivo. Como temos um sinal negativo, tende ao infinito negativo.

Resposta

Portanto, o limite é:

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Calcule os limites abaixo:
Seja uma função real definida no intervalo aberto . Mostre que se então existe um tal que se e então .
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.
Seja uma função definida em e suponha que exista tal que para todo . Prove, usando a definição de função contínua, que é contínua em . Exiba outra maneira de mostrar este resultado.