Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Estamos lidando com limites no infinito, especificamente quando vai para menos infinito. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como se comportam as funções polinomiais e radicais quando cresce muito em magnitude.

Passo 2

Quando queremos calcular um limite quando vai para menos infinito, nos concentramos nos termos que mais “pesam”, ou seja, os que têm maior grau. No numerador temos e no denominador . Aqui, o termo que mais influencia no numerador é , e no denominador é .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão focando nos termos dominantes. Para o numerador:
porque, para valores de muito grandes em magnitude, o se torna insignificante comparado a .

Passo 4

No denominador, temos . Novamente, para muito grande, domina sobre o , então:
Como está tendendo a menos infinito, (porque é negativo).

Passo 5

Agora substituímos as aproximações na expressão original:
Os sinais negativos se cancelam.

Passo 6

Simplificando a fração:
Os também se cancelam, deixando apenas o número.

Resposta

O limite é igual a .

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Seja uma função real definida no intervalo aberto . Mostre que se então existe um tal que se e então .
Calcule os limites abaixo: ;
Calcule os limites abaixo: ;
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.