Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Estamos lidando com limites no infinito, especificamente quando
vai para menos infinito. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo de Limites, e vamos precisar entender como se comportam as funções polinomiais e radicais quando
cresce muito em magnitude.
Passo 2
Quando queremos calcular um limite quando
vai para menos infinito, nos concentramos nos termos que mais “pesam”, ou seja, os que têm maior grau. No numerador temos
e no denominador
. Aqui, o termo que mais influencia no numerador é
, e no denominador é
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão focando nos termos dominantes. Para o numerador:
porque, para valores de
muito grandes em magnitude, o
se torna insignificante comparado a
.
Passo 4
No denominador, temos
. Novamente, para
muito grande,
domina sobre o
, então:
Como
está tendendo a menos infinito,
(porque
é negativo).
Passo 5
Agora substituímos as aproximações na expressão original:
Os sinais negativos se cancelam.
Passo 6
Simplificando a fração:
Os
também se cancelam, deixando apenas o número.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função real definida no intervalo aberto
. Mostre que se
então existe um
tal que se
e
então
.
Calcule os limites abaixo:
;
Calcule os limites abaixo:
;
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.