Seja
uma função definida em
tal que para todo
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida para todos os números reais, exceto em
. A função satisfaz a seguinte desigualdade para todo
:
Queremos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1.
Passo 2
Para resolver esse limite, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Esse teorema diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então essa função também tem esse limite.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o limite da função que está abaixo de
:
Substituindo
:
Então, o limite inferior é 2.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função que está acima de
:
Perceba que o numerador pode ser fatorado:
Então, a expressão fica:
Agora, substituindo
:
Portanto, o limite superior também é 2.
Passo 5
Como ambas as funções que “apertam”
têm limite 2 quando
se aproxima de 1, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que: