Seja f uma função definida em R tal que para todo x neq 1,-x^2+3 x <= f(x).
Calcule lim x 1 f(x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função -x^2 + 3x <= f(x) < x^2 - 1x - 1 definida para todos os números reais, exceto em . A função satisfaz a seguinte desigualdade para todo :
Queremos calcular o limite de quando se aproxima de 1.

Passo 2

Para resolver esse limite, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Esse teorema diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então essa função também tem esse limite.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o limite da função que está abaixo de limx to 1 (-x^2 + 3x) :
-1^2 + 3 times 1 = -1 + 3 = 2
Substituindo :
Então, o limite inferior é 2.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função que está acima de limx to 1 x^2 - 1x - 1 :
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Perceba que o numerador pode ser fatorado:
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1 para x neq 1
Então, a expressão fica:
1 + 1 = 2
Agora, substituindo :
Portanto, o limite superior também é 2.

Passo 5

Como ambas as funções que “apertam” limx to 1 f(x) = 2 têm limite 2 quando se aproxima de 1, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:

Resposta

limx to 1 f(x) = 2

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