Mostre que a equação possui, pelo menos, duas soluções reais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos mostrar que a equação tem pelo menos duas soluções reais. Isso está ligado a funções e suas interseções. Vamos precisar usar conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Queremos encontrar valores de onde , ou seja, onde as duas funções se cruzam.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de em alguns pontos específicos para ver se mudamos de sinal, o que indicaria uma solução entre esses pontos pelo Teorema do Valor Intermediário.

Passo 4

Calculando :
Então, .

Passo 5

Calculando :
Então, .

Passo 6

Calculando :
Então, .

Passo 7

Agora, observamos que e . Como é contínida (somatório de funções contínuas) e muda de positivo para negativo entre e , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um em tal que .

Passo 8

Vamos verificar outro intervalo. Calculando :
Então, .

Passo 9

Calculando :
Então, .

Passo 10

Veja que e . Novamente, muda de positivo para negativo entre e , o que garante, pelo mesmo teorema, que existe pelo menos um em tal que .

Resposta

Assim, mostramos que a equação possui pelo menos duas soluções reais.

Exercícios relacionados

Encontre a área da região entre as curvas e .
Escolha uma opção:
a. -9
b. 9
c. 27
d. -27
e. 0
Determine a derivada
Considere a função dada por . Dado , mostre que existe tal que .
Calcule os limites abaixo. ;