Mostre que a equação
possui, pelo menos, duas soluções reais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos mostrar que a equação
tem pelo menos duas soluções reais. Isso está ligado a funções e suas interseções. Vamos precisar usar conceitos de funções contínuas e o Teorema do Valor Intermediário para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Queremos encontrar valores de
onde
, ou seja, onde as duas funções se cruzam.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de
em alguns pontos específicos para ver se mudamos de sinal, o que indicaria uma solução entre esses pontos pelo Teorema do Valor Intermediário.
Passo 4
Calculando
:
Então,
.
Passo 5
Calculando
:
Então,
.
Passo 6
Calculando
:
Então,
.
Passo 7
Agora, observamos que
e
. Como
é contínida (somatório de funções contínuas) e muda de positivo para negativo entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 8
Vamos verificar outro intervalo. Calculando
:
Então,
.
Passo 9
Calculando
:
Então,
.
Passo 10
Veja que
e
. Novamente,
muda de positivo para negativo entre
e
, o que garante, pelo mesmo teorema, que existe pelo menos um
em
tal que
.
Resposta
Assim, mostramos que a equação
possui pelo menos duas soluções reais.