Calcule os limites abaixo:
lim x 3 x^2-9raiz[3]x-raiz[3]3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 3 x^2-9raiz[3]x-raiz[3]3
Aqui estamos trabalhando com limites, que é um tópico da Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e lidar com raízes cúbicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) . Esse é um caso clássico de uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
lim x 3 (x - 3)(x + 3)raiz[3]x-raiz[3]3
Então, nosso limite fica assim:

Passo 3

Agora, observamos que quando a - b = a^3 - b^3a^2 + ab + b^2 se aproxima de 3, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, resultando em uma forma indeterminada raiz[3]x - raiz[3]3 = x - 3raiz[3]x^2 + raiz[3]xraiz[3]3 + raiz[3]3^2 . Para resolver isso, precisamos simplificar mais a expressão.
Uma técnica útil para lidar com a diferença de raízes cúbicas é usar a identidade:
Aplicando isso ao nosso denominador , temos:

Passo 4

Substituindo essa expressão no nosso limite, temos:
lim x 3 (x - 3)(x + 3)x - 3raiz[3]x^2 + raiz[3]xraiz[3]3 + raiz[3]3^2
Podemos simplificar cancelando o termo lim x 3 (x + 3) cdot ( raiz[3]x^2 + raiz[3]xraiz[3]3 + raiz[3]3^2 ) :

Passo 5

Agora, substituímos (3 + 3) cdot ( raiz[3]3^2 + raiz[3]3raiz[3]3 + raiz[3]3^2 ) por 3 na expressão simplificada:
6 cdot ( 3^2/3 + 3^2/3 + 3^2/3 ) = 6 cdot 3 cdot 3^2/3 = 18 cdot 3^2/3
Simplificando:

Resposta

lim x 3 x^2-9raiz[3]x-raiz[3]3 = 18 cdot 3^23

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