Calcule os limites abaixo:
lim x 0 tg(3 x)tg(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Estamos trabalhando com limites em funções trigonométricas, especificamente com a tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a tangente se comporta perto de 0 e usar essa informação para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das funções trigonométricas perto de 0. Sabemos que quando tan(x) approx x quando x to 0 é muito pequeno, é aproximadamente igual a . Ou seja:
Isso acontece porque o gráfico da tangente cruza a origem com uma inclinação de 1, então para valores pequenos de , a tangente não se afasta muito da linha reta .

Passo 3

Agora, aplicando essa aproximação na nossa expressão, temos:
tan(3x) approx 3x e tan(5x) approx 5x quando x to 0
Substituindo essas aproximações na expressão original:
tan(3x)tan(5x) approx 3x5x

Passo 4

Simplificando a expressão 3x5x = 35 , vemos que os termos se cancelam:

Resposta

O limite boxed35 é igual a .

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