Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Estamos trabalhando com limites em funções trigonométricas, especificamente com a tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a tangente se comporta perto de 0 e usar essa informação para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das funções trigonométricas perto de 0. Sabemos que quando é muito pequeno, é aproximadamente igual a . Ou seja:
Isso acontece porque o gráfico da tangente cruza a origem com uma inclinação de 1, então para valores pequenos de , a tangente não se afasta muito da linha reta .

Passo 3

Agora, aplicando essa aproximação na nossa expressão, temos:
Substituindo essas aproximações na expressão original:

Passo 4

Simplificando a expressão , vemos que os termos se cancelam:

Resposta

O limite é igual a .

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Seja qualquer curva fechada, simples no plano. Mostre que
Decida se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas:
Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
a)
Calcule os limites abaixo: