Encontre uma série de Taylor da função
em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu o desafio de encontrar a série de Taylor da função em torno de . Isso quer dizer que vamos expandir essa função em uma série infinita de potências de centrada no ponto 0. Para isso, vamos precisar saber como é a série de Taylor da função e entender como manipular séries para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a série de Taylor da função perto de . A série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
No caso de e , todas as derivadas de continuam sendo , e avaliadas em dão . Então, a série fica assim:

Passo 3

Agora, queremos trabalhar com a função . Vamos começar subtraindo da série de :
Note que o primeiro termo foi cancelado pelo .

Passo 4

Agora, vamos dividir cada termo dessa nova série por :
Isso simplifica para:

Passo 5

Para deixar a série mais elegante, vamos mudar o índice da soma. Em vez de começar em , vamos começar em apenas ajustando os termos:
Isso porque quando começa em , o primeiro termo é , que corresponde ao que tínhamos antes.

Resposta

A série de Taylor da função em torno de é:

Exercícios relacionados

Considere a função . Encontre as equações para as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de , caso existam.
Calcule os limites abaixo:
Sejam as funçöes e
e são contínuas em ?
Sejam as funçöes e
A função é contínua em ?