Encontre uma série de Taylor da função
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu o desafio de encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. Isso quer dizer que vamos expandir essa função em uma série infinita de potências de
centrada no ponto 0. Para isso, vamos precisar saber como é a série de Taylor da função
e entender como manipular séries para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar a memória sobre a série de Taylor da função
perto de
. A série de Taylor de uma função
em torno de
é dada por:
No caso de
e
, todas as derivadas de
continuam sendo
, e avaliadas em
dão
. Então, a série fica assim:
Passo 3
Agora, queremos trabalhar com a função
. Vamos começar subtraindo
da série de
:
Note que o primeiro termo
foi cancelado pelo
.
Passo 4
Agora, vamos dividir cada termo dessa nova série por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para deixar a série mais elegante, vamos mudar o índice da soma. Em vez de começar em
, vamos começar em
apenas ajustando os termos:
Isso porque quando
começa em
, o primeiro termo é
, que corresponde ao que tínhamos antes.
Resposta
A série de Taylor da função
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
. Encontre as equações para as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de
, caso existam.
Calcule os limites abaixo:
Sejam as funçöes
e
e
são contínuas em
?
Sejam as funçöes
e
A função é contínua em
?
A função