Calcule os limites abaixo:
lim x 0 a^x-b^xx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Esse exercício envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Vamos precisar entender como as potências funcionam quando a base é elevada a um expoente que está se aproximando de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante das funções exponenciais: para qualquer número positivo a^x approx 1 + x ln a , quando b^x approx 1 + x ln b se aproxima de 0, pode ser aproximado por . Isso vem da expansão de Taylor da função exponencial.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essas aproximações na expressão original:
a^x - b^xx approx (1 + x ln a) - (1 + x ln b)x

Passo 4

Simplificando o numerador:
(1 + x ln a) - (1 + x ln b) = 1 + x ln a - 1 - x ln b = x (ln a - ln b)

Passo 5

Então, nossa expressão fica:
x (ln a - ln b)x
Aqui, o ln a - ln b no numerador e no denominador se cancela:

Resposta

O limite é .

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