Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
. O que a gente precisa descobrir é onde essa função está aumentando ou diminuindo, como é a curvatura dela (se está “sorrindo” ou “chorando”), os pontos mais altos ou baixos (extremos relativos) e onde a curva muda de concavidade (pontos de inflexão). Para isso, vamos usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
, que nos ajuda a saber se a função está crescendo ou decrescendo. A derivada é como a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto.
A função é
. Podemos reescrever a raiz quadrada como potência de
:
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, seja:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Para facilitar, vamos colocar sob o mesmo denominador:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada:
- Crescendo:
- Decrescendo:
Primeiro, vamos notar que o denominador
é sempre positivo para
(já que a raiz quadrada de um número positivo é positiva). Portanto, o sinal da derivada depende apenas do numerador
.
Resolvendo
:
E
Então:
- Para
: ⇒ A função está crescente. - Para
: ⇒ A função está decrescente.
Passo 4
Vamos agora analisar a concavidade da função, ou seja, se ela está “sorrindo” (concava para cima) ou “chorando” (concava para baixo). Para isso, precisamos da segunda derivada
.
Vamos derivar
. Podemos reescrever isso como:
Utilizamos a regra do quociente novamente ou a regra do produto com a cadeia. Vamos usar a regra do produto aqui:
Seja:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Podemos fatorar
:
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:
Passo 5
Com a segunda derivada
, vamos determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo.
Analisando o sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo para . - Portanto, o sinal de
depende apenas do numerador .
Resolvendo
:
E
No entanto, lembrando que
devido à definição da função (a raiz quadrada exige que
), então:
- Para
: - Se
(o que sempre é verdade aqui), então ⇒ A função está concava para baixo.
- Se
Como não existe
no domínio onde
, a função não é concava para cima em nenhum intervalo dentro do domínio considerado.
Passo 6
Vamos identificar os extremos relativos, que são os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos locais. Isso acontece onde a derivada primeira muda de sinal.
Já vimos que:
- Para
: ⇒ Crescente - Para
: ⇒ Decrescente
Então, em
, a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo relativo.
Vamos calcular o valor de
:
Portanto, o ponto
é um máximo relativo.
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Isso ocorre onde a segunda derivada muda de sinal.
Nossa segunda derivada é
.
Buscamos onde
:
Mas, lembrando que o domínio da função é
,
está fora do domínio. Portanto, não há pontos de inflexão dentro do domínio da função.
Resposta
A função
:
- Crescente no intervalo
. - Decrescente no intervalo
. - Concava para baixo em todo o domínio
. - Possui um máximo relativo no ponto
. - Não possui pontos de inflexão dentro do domínio.
O esboço da curva apresenta um aumento até
, atingindo o ponto mais alto em
, e depois decresce até
, sem mudanças na concavidade.
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Calcule os limites abaixo: