Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função . O que a gente precisa descobrir é onde essa função está aumentando ou diminuindo, como é a curvatura dela (se está “sorrindo” ou “chorando”), os pontos mais altos ou baixos (extremos relativos) e onde a curva muda de concavidade (pontos de inflexão). Para isso, vamos usar cálculo diferencial, ou seja, derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função , que nos ajuda a saber se a função está crescendo ou decrescendo. A derivada é como a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto.
A função é . Podemos reescrever a raiz quadrada como potência de :
Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, seja:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Para facilitar, vamos colocar sob o mesmo denominador:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada:
  • Crescendo:
  • Decrescendo:
Primeiro, vamos notar que o denominador é sempre positivo para (já que a raiz quadrada de um número positivo é positiva). Portanto, o sinal da derivada depende apenas do numerador .
Resolvendo :
E
Então:
  • Para : ⇒ A função está crescente.
  • Para : ⇒ A função está decrescente.

Passo 4

Vamos agora analisar a concavidade da função, ou seja, se ela está “sorrindo” (concava para cima) ou “chorando” (concava para baixo). Para isso, precisamos da segunda derivada .
Vamos derivar . Podemos reescrever isso como:
Utilizamos a regra do quociente novamente ou a regra do produto com a cadeia. Vamos usar a regra do produto aqui:
Seja:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Podemos fatorar :
Simplificando dentro dos parênteses:
Então:

Passo 5

Com a segunda derivada , vamos determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo.
Analisando o sinal de :
  • O denominador é sempre positivo para .
  • Portanto, o sinal de depende apenas do numerador .
Resolvendo :
E
No entanto, lembrando que devido à definição da função (a raiz quadrada exige que ), então:
  • Para :
    • Se (o que sempre é verdade aqui), então ⇒ A função está concava para baixo.
Como não existe no domínio onde , a função não é concava para cima em nenhum intervalo dentro do domínio considerado.

Passo 6

Vamos identificar os extremos relativos, que são os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos locais. Isso acontece onde a derivada primeira muda de sinal.
Já vimos que:
  • Para : ⇒ Crescente
  • Para : ⇒ Decrescente
Então, em , a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo relativo.
Vamos calcular o valor de :
Portanto, o ponto é um máximo relativo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Isso ocorre onde a segunda derivada muda de sinal.
Nossa segunda derivada é .
Buscamos onde :
Mas, lembrando que o domínio da função é , está fora do domínio. Portanto, não há pontos de inflexão dentro do domínio da função.

Resposta

A função :
  • Crescente no intervalo .
  • Decrescente no intervalo .
  • Concava para baixo em todo o domínio .
  • Possui um máximo relativo no ponto .
  • Não possui pontos de inflexão dentro do domínio.
O esboço da curva apresenta um aumento até , atingindo o ponto mais alto em , e depois decresce até , sem mudanças na concavidade.

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