Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que precisa ser feito. A função que estamos analisando é:
Nosso objetivo é determinar em quais intervalos essa função está crescente ou decrescente, identificar onde a concavidade da função está para cima ou para baixo, encontrar os extremos relativos (máximos e mínimos) e os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar utilizar o estudo de derivadas: a primeira derivada para analisar crescimento/decrescimento e a segunda derivada para estudar a concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função em relação a .
Aplicando as regras de derivação:
Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de .
  • Crescente:
  • Decrescente:
Vamos resolver e :
Isso ocorre quando ou .
Isso ocorre quando .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função.
A concavidade da função depende do sinal de :
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo:
Vamos resolver e :

Passo 4

Agora, vamos encontrar os extremos relativos e os pontos de inflexão.
Extremos Relativos:
Os extremos relativos ocorrem onde e há uma mudança no sinal da derivada.
  • Em : a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.
  • Em : a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo relativo.
Para encontrar as coordenadas desses pontos:
Portanto, o ponto mínimo é .
Portanto, o ponto máximo é .
Pontos de Inflexão:
Os pontos de inflexão ocorrem onde e há uma mudança na concavidade.
Para encontrar a coordenada:
Portanto, o ponto de inflexão é .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
  • Crescimento: e
  • Decrescimento:
  • Concavidade para cima:
  • Concavidade para baixo:
  • Extremos: Mínimo em e Máximo em
  • Ponto de Inflexão:

Resposta

A função é:
  • Crescente nos intervalos e .
  • Decrescente no intervalo .
  • Possui concavidade para baixo no intervalo e concavidade para cima no intervalo .
  • Apresenta um mínimo relativo em e um máximo relativo em .
  • Tem um ponto de inflexão em .
Essas informações permitem esboçar o gráfico da função, mostrando seus comportamentos de crescimento, decrescimento, concavidade e pontos característicos.

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