Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que precisa ser feito. A função que estamos analisando é:
Nosso objetivo é determinar em quais intervalos essa função está crescente ou decrescente, identificar onde a concavidade da função está para cima ou para baixo, encontrar os extremos relativos (máximos e mínimos) e os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar utilizar o estudo de derivadas: a primeira derivada para analisar crescimento/decrescimento e a segunda derivada para estudar a concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função em relação a
.
Aplicando as regras de derivação:
Agora, para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de
.
- Crescente:
- Decrescente:
Vamos resolver
e
:
Isso ocorre quando
ou
.
Isso ocorre quando
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada para analisar a concavidade da função.
A concavidade da função depende do sinal de
:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
Vamos resolver
e
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os extremos relativos e os pontos de inflexão.
Extremos Relativos:
Os extremos relativos ocorrem onde
e há uma mudança no sinal da derivada.
- Em
: a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo. - Em
: a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo relativo.
Para encontrar as coordenadas desses pontos:
Portanto, o ponto mínimo é
.
Portanto, o ponto máximo é
.
Pontos de Inflexão:
Os pontos de inflexão ocorrem onde
e há uma mudança na concavidade.
Para encontrar a coordenada:
Portanto, o ponto de inflexão é
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função:
- Crescimento:
e - Decrescimento:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Extremos: Mínimo em
e Máximo em - Ponto de Inflexão:
Resposta
A função
é:
- Crescente nos intervalos
e . - Decrescente no intervalo
. - Possui concavidade para baixo no intervalo
e concavidade para cima no intervalo . - Apresenta um mínimo relativo em
e um máximo relativo em . - Tem um ponto de inflexão em
.
Essas informações permitem esboçar o gráfico da função, mostrando seus comportamentos de crescimento, decrescimento, concavidade e pontos característicos.
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