Uma mancha de óleo com formato circular se espalha de tal forma que seu raio aumenta à uma razão de 5 m/h. Qual é a taxa de variação da área da mancha no momento em que o raio é 100 m ?

Passo 1

Vamos entender o problema: uma mancha de óleo circular está se espalhando, com o raio aumentando a uma taxa de . Queremos descobrir a taxa de variação da área dessa mancha quando o raio chega a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas a áreas de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
onde é a área e é o raio do círculo.

Passo 3

Queremos saber como a área está mudando ao longo do tempo, ou seja, queremos encontrar . Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo.

Passo 4

Derivando em relação ao tempo , temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 5

Sabemos que e queremos encontrar quando . Substituindo esses valores na equação, fica:

Resposta

A taxa de variação da área da mancha é .

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