Uma mancha de óleo com formato circular se espalha de tal forma que seu raio aumenta à uma razão de
. Qual é a taxa de variação da área da mancha no momento em que o raio é
?
Passo 1
Vamos entender o problema: uma mancha de óleo circular está se espalhando, com o raio aumentando a uma taxa de
. Queremos descobrir a taxa de variação da área dessa mancha quando o raio chega a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas a áreas de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
onde
é a área e
é o raio do círculo.
Passo 3
Queremos saber como a área
está mudando ao longo do tempo, ou seja, queremos encontrar
. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo.
Passo 4
Derivando
em relação ao tempo
, temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 5
Sabemos que
e queremos encontrar
quando
. Substituindo esses valores na equação, fica:
Resposta
A taxa de variação da área da mancha é
.