Um homem de
e
de altura, caminhando com uma velocidade de
, passa por uma luminária de rua com
de altura. Qual é a taxa de variação da sombra do homem quando está a
de distância do poste?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um homem de 1,8 metros de altura que está caminhando a 1 metro por segundo. Ele passa por uma luminária de rua que tem 3,5 metros de altura. A pergunta é: qual a rapidez com que a sombra dele está mudando quando ele está a 6 metros do poste? Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria com triângulos semelhantes e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis envolvidas:
- x(t): distância do homem até o poste da luminária em função do tempo.
- s(t): comprimento da sombra do homem em função do tempo.
- dx/dt: velocidade do homem, que é 1 m/s.
Nosso objetivo é encontrar ds/dt quando x = 6 metros.
Passo 3
Vamos pensar nos triângulos formados pela luminária, pelo homem e pela sombra. A altura da luminária e do homem formam triângulos semelhantes com a sombra. Isso significa que as proporções entre as alturas e os comprimentos das sombras são iguais.
A proporção fica assim:
Matematicamente:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar s em termos de x:
Multiplicando cruzado:
Distribuindo o 1,8:
Isolando os termos com s:
Agora, resolvemos para s:
Passo 5
Agora que temos s em função de x, vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo t para encontrar ds/dt:
Sabemos que dx/dt = 1 m/s, então:
Passo 6
Vamos calcular o valor numérico:
Resposta
A taxa de variação da sombra do homem quando ele está a 6 metros do poste é aproximadamente 1,0588 metros por segundo.
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