Calcule os limites abaixo: lim x a cos x-cos ax-a;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite . Esse exercício faz parte do estudo de cálculo, especificamente sobre derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que envolvem funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função f'(a) = limx a f(x) - f(a)x - a no ponto é definida por:
Esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva de no ponto .

Passo 3

No nosso caso, a função f'(a) = limx a cos x - cos ax - a é . Então, a derivada de em será:
Isso exatamente o limite que precisamos calcular!

Passo 4

Sabemos, ou podemos lembrar, que a derivada de f'(x) = -sin x é f'(a) = -sin a . Ou seja:
Então, avaliando essa derivada no ponto , temos:

Resposta

O limite vale .

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