Sabendo que a função abaixo é contínua, calcule o valor de .

Passo 1

Vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem uma função que é contínua, definida de duas formas:
  • Se , então .
  • Se , então .
A gente precisa descobrir qual o valor de que faz essa função ser contínua em .

Passo 2

Para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de 0 tem que ser igual a , ou seja, . Então, vamos calcular esse limite:

Passo 3

Vamos calcular o limite . Sabemos que, para valores de bem pequenos, a função seno pode ser aproximada por seu argumento. Isso significa que:
Então, substituindo na expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando vai para 0:
Isso significa que:

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

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Esboçe o gráfico e determine os pontos de descontinuidade da função onde
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