Calcule os limites abaixo: ;

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conceitos de limites, propriedades das funções trigonométricas e o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sandoque) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão:
  1. : Conforme se aproxima de 0, também se aproxima de 0.
  2. : A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de .
  3. : Sabemos que e, próximo de 0, fica próximo de 1.

Passo 3

Vamos focar na parte . Sabemos que:
Multiplicando toda a desigualdade por , que é positivo próximo de 0 (porque tende a 0 e tende a 1), temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites das duas extremidades:

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto, que diz que se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela mesma tem esse limite, concluímos que:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo: ;
Calcule os limites abaixo: ;
Calcule os limites abaixo: ;
Sabendo que a função abaixo é contínua, calcule o valor de .