Calcule os limites abaixo:
(e) lim x +infty(1+2 x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões que envolvem potências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer expressão da forma a^b = e^b cdot ln(a) pode ser escrita usando a função exponencial e o logaritmo natural:
Isso vai nos ajudar a simplificar o limite.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso limite, temos:
(1 + 2x)^1x = e^1x cdot ln(1 + 2x)
Então, o limite original se transforma em:
limx to +infty e^1x cdot ln(1 + 2x)
Como a função exponencial é contínua, podemos trocar o limite com o exponencial:
e^limx to +infty ln(1 + 2x)x

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dentro do expoente:
limx to +infty ln(1 + 2x)x
Quando ln(1 + 2x) approx ln(2x) = ln2 + ln x tende ao infinito, ln2 + ln xx = ln2x + ln xx , então:
limx to +infty ln(1 + 2x)x = 0
Substituindo de volta:
À medida que tende ao infinito, tanto quanto tendem a 0. Ou seja:

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x +infty(1+2 x)^1x = e^0 = 1

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