Nos exercícios abaixo, encontre por derivação implícita.
(e)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar usando derivação implícita. A equação dada é:
Neste problema, estamos trabalhando com derivadas implícitas, que são usadas quando é uma função de ou , e ambas as variáveis estão relacionadas por uma equação. Precisaremos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia, para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Expandindo os termos:
Subtraindo as duas expressões:
Então, a equação simplificada fica:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , aplicando a derivada implícita:

Passo 4

Aplicando a derivada no lado esquerdo usando a regra do produto:
No lado direito, diferenciamos cada termo:
Então, o lado direito fica:

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados:
Vamos distribuir o 4 no lado esquerdo:

Passo 6

Agora, vamos reunir todos os termos que envolvem de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando no lado esquerdo:

Passo 7

Isolando :

Resposta

A derivada é:

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo:
(e)
Determine a aproximação linear (linearização) de:
(a) em .
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
©
Nos exercícios abaixo, encontre por derivação implícita.
(d)