Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites no cálculo, especificamente lidando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de racionalização e entender como simplificar expressões que envolvem radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos racionalizar a expressão
. Racionalizar significa eliminar as raízes do denominador ou de uma expressão, mas aqui vamos usar a ideia para simplificar a diferença entre as raízes. Para isso, multiplicamos e dividimos a expressão pelo conjugado dela, que é
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, aplicamos a propriedade do produto de conjugados, que nos diz que
. Aplicando isso na expressão:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da expressão quando
tende ao infinito. As raízes quadradas
e
podem ser aproximadas por
quando
é muito grande, já que os termos constantes (+2 e +5) se tornam insignificantes.
Então, aproximamos:
Substituindo na nossa expressão:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite quando
tende ao infinito:
Isso porque o denominador cresce sem limites, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.
Resposta
O limite
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
Seja R a região limitada pela reta
e pela parábola
. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
b) do eixo
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo: