Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites no cálculo, especificamente lidando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de racionalização e entender como simplificar expressões que envolvem radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos racionalizar a expressão . Racionalizar significa eliminar as raízes do denominador ou de uma expressão, mas aqui vamos usar a ideia para simplificar a diferença entre as raízes. Para isso, multiplicamos e dividimos a expressão pelo conjugado dela, que é . Assim, temos:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade do produto de conjugados, que nos diz que . Aplicando isso na expressão:
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da expressão quando tende ao infinito. As raízes quadradas e podem ser aproximadas por quando é muito grande, já que os termos constantes (+2 e +5) se tornam insignificantes.
Então, aproximamos:
Substituindo na nossa expressão:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite quando tende ao infinito:
Isso porque o denominador cresce sem limites, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.

Resposta

O limite é igual a 0.

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Seja R a região limitada pela reta e pela parábola . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno,
b) do eixo
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