Calcule os limites abaixo: lim x infty(raizx+2-raizx+5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites no cálculo, especificamente lidando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de racionalização e entender como simplificar expressões que envolvem radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos racionalizar a expressão (raizx+2 - raizx+5) times raizx+2 + raizx+5raizx+2 + raizx+5 . Racionalizar significa eliminar as raízes do denominador ou de uma expressão, mas aqui vamos usar a ideia para simplificar a diferença entre as raízes. Para isso, multiplicamos e dividimos a expressão pelo conjugado dela, que é . Assim, temos:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade do produto de conjugados, que nos diz que (raizx+2)^2 - (raizx+5)^2raizx+2 + raizx+5 = (x+2) - (x+5)raizx+2 + raizx+5 . Aplicando isso na expressão:
-3raizx+2 + raizx+5
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da expressão quando raizx+2 + raizx+5 approx raizx + raizx = 2raizx tende ao infinito. As raízes quadradas -32raizx e podem ser aproximadas por quando é muito grande, já que os termos constantes (+2 e +5) se tornam insignificantes.
Então, aproximamos:
Substituindo na nossa expressão:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite quando limx to infty -32raizx = 0 tende ao infinito:
Isso porque o denominador cresce sem limites, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados