Calcule os limites abaixo:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente sobre limites no infinito. Para resolver, vamos precisar entender como funções polinomiais como
e funções exponenciais como
se comportam quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
tende ao infinito.
- O numerador é
, que cresce sem limites conforme aumenta. - O denominador é
, que também cresce, mas de uma forma muito mais rápida que qualquer polinômio.
Passo 3
Para entender melhor, vamos aplicar a regra de L’Hospital, que é útil quando temos um limite que resulta em uma forma indeterminada como
. A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- A derivada de
em relação a é 1, ou seja, . - A derivada de
em relação a é , ou seja, .
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo o limite original pelo limite das derivadas:
Passo 6
Vamos analisar o novo limite
. Sabemos que
cresce muito rapidamente, então
tende a zero quando
vai para o infinito.
Resposta
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