Calcule os limites abaixo:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente sobre limites no infinito. Para resolver, vamos precisar entender como funções polinomiais como e funções exponenciais como se comportam quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando tende ao infinito.
  • O numerador é , que cresce sem limites conforme aumenta.
  • O denominador é , que também cresce, mas de uma forma muito mais rápida que qualquer polinômio.

Passo 3

Para entender melhor, vamos aplicar a regra de L’Hospital, que é útil quando temos um limite que resulta em uma forma indeterminada como . A regra diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • A derivada de em relação a é 1, ou seja, .
  • A derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo o limite original pelo limite das derivadas:

Passo 6

Vamos analisar o novo limite . Sabemos que cresce muito rapidamente, então tende a zero quando vai para o infinito.

Resposta

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