Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma fórmula para a n-ésima derivada da função . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas da função seno funcionam e como identificar um padrão que nos permita generalizar para qualquer ordem de derivada, ou seja, para qualquer .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como derivar a função seno. A derivada de é . Legal, certo?

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente a função que acabamos de obter. Ou seja, derivar . A derivada de é .

Passo 4

Vamos continuar mais uma vez. Derivando , temos .

Passo 5

E mais uma derivada: derivando , voltamos para .

Passo 6

Observamos que as derivadas estão seguindo um ciclo de 4 etapas:
  1. De volta a , e assim por diante.
Isso significa que após cada 4 derivadas, a função retorna ao ponto de partida.

Passo 7

Para encontrar a n-ésima derivada, vamos relacionar com o ciclo de 4. Podemos usar a operação módulo para determinar qual função está no ciclo quando temos a n-ésima derivada.
Dependendo do resto dessa divisão, sabemos qual função está na posição.

Passo 8

Associando o resto com a função correspondente:
  • Se ,
  • Se ,
  • Se ,
  • Se ,

Passo 9

Para expressar isso de forma geral, usamos a função seno novamente, ajustando o argumento para incorporar os múltiplos de que aparecem no ciclo. A fórmula geral fica assim:

Resposta

A fórmula para a n-ésima derivada de é:

Exercícios relacionados

Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(b)
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
(d)
Calcule os limites abaixo:
(a)
Encontre usando diferenciação logarítimica.
(a)