Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma fórmula para a n-ésima derivada da função . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas da função seno funcionam e como identificar um padrão que nos permita generalizar para qualquer ordem de derivada, ou seja, para qualquer
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como derivar a função seno. A derivada de é
. Legal, certo?
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente a função que acabamos de obter. Ou seja, derivar
. A derivada de
é .
Passo 4
Vamos continuar mais uma vez. Derivando , temos
.
Passo 5
E mais uma derivada: derivando
, voltamos para .
Passo 6
Observamos que as derivadas estão seguindo um ciclo de 4 etapas:
-
-
- De volta a , e assim por diante.
Isso significa que após cada 4 derivadas, a função retorna ao ponto de partida.
Passo 7
Para encontrar a n-ésima derivada, vamos relacionar
com o ciclo de 4. Podemos usar a operação módulo para determinar qual função está no ciclo quando temos a n-ésima derivada.
Dependendo do resto dessa divisão, sabemos qual função está na posição.
Passo 8
Associando o resto com a função correspondente:
- Se
, - Se
, - Se
, - Se
,
Passo 9
Para expressar isso de forma geral, usamos a função seno novamente, ajustando o argumento para incorporar os múltiplos de
que aparecem no ciclo. A fórmula geral fica assim:
Resposta
A fórmula para a n-ésima derivada de é:
Exercícios relacionados
Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(b)
(b)
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
(d)
(d)
Calcule os limites abaixo:
(a)
(a)
Encontre
usando diferenciação logarítimica.
(a)
(a)