Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para gente achar uma fórmula que dá a n-ésima derivada da função
. Isso tá no assunto de cálculo, especificamente sobre derivadas de ordem superior. Pra resolver, a gente vai precisar entender como derivar funções repetidamente e identificar um padrão que a gente possa generalizar para qualquer ordem
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer algumas derivadas para ver se rola perceber um padrão. Vamos começar derivando
várias vezes:
1ª derivada:
2ª derivada:
3ª derivada:
Percebeu? A cada derivada, o sinal alterna e um fatorial aparece no numerador, além do expoente de
aumentando.
Passo 3
Agora, vamos tentar generalizar isso para a n-ésima derivada. Observando o que fizemos:
- O sinal está alternando: fica -1, 1, -1, 1, e assim por diante. Isso dá pra representar com
. - O numerador tem um fatorial: Na primeira derivada foi 1!, na segunda 2!, na terceira 3!, etc., ou seja,
. - O expoente de
aumenta seguindo a fórmula .
Então, juntando tudo, a fórmula fica:
Resposta
A n-ésima derivada de
é dada por:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
(d)
(d)
Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
©
©
Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(e)
(e)
Calcule os limites abaixo:
(a)
(a)