Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente achar uma fórmula que dá a n-ésima derivada da função . Isso tá no assunto de cálculo, especificamente sobre derivadas de ordem superior. Pra resolver, a gente vai precisar entender como derivar funções repetidamente e identificar um padrão que a gente possa generalizar para qualquer ordem .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer algumas derivadas para ver se rola perceber um padrão. Vamos começar derivando várias vezes:
1ª derivada:
2ª derivada:
3ª derivada:
Percebeu? A cada derivada, o sinal alterna e um fatorial aparece no numerador, além do expoente de aumentando.

Passo 3

Agora, vamos tentar generalizar isso para a n-ésima derivada. Observando o que fizemos:
  • O sinal está alternando: fica -1, 1, -1, 1, e assim por diante. Isso dá pra representar com .
  • O numerador tem um fatorial: Na primeira derivada foi 1!, na segunda 2!, na terceira 3!, etc., ou seja, .
  • O expoente de aumenta seguindo a fórmula .
Então, juntando tudo, a fórmula fica:

Resposta

A n-ésima derivada de é dada por:

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
(d)
Nos exercícios abaixo, encontre por derivação implícita.
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Obtenha uma fórmula para encontrar a n-ésima derivada das seguintes funções:
(e)
Calcule os limites abaixo:
(a)