Determine, se existir, as assíntotas de cada uma das funções abaixo e faça o gráfico das mesmas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A questão pede para a gente determinar, se existirem, as assíntotas da função
e fazer o gráfico dela. Vamos precisar entender sobre assíntotas, que são linhas que a função se aproxima mas nunca toca. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma assíntota pode ser vertical, horizontal ou oblíqua. Para essa função, que envolve uma raiz quadrada, vamos focar nas assíntotas horizontais e oblíquas, já que não há valores de
que tornem a função indefinida (como acontece com assíntotas verticais).
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende para o infinito positivo e negativo. Isso nos ajuda a identificar possíveis assíntotas.
Para
muito grande (positivo ou negativo), o termo
domina o
dentro da raiz. Então:
Isso significa que, para
positivo,
, e para
negativo,
.
Passo 4
Assim, podemos dizer que a função se aproxima das linhas
quando
tende para
e
quando
tende para
. Essas linhas são as assíntotas oblíquas da função.
Passo 5
Agora, vamos resumir:
- Para
: , então é uma assíntota. - Para
: , então é outra assíntota.
Resposta
As assíntotas da função
são as retas
e
.
Gráfico
![Gráfico da função f(x) = √(4x² + 1) com assíntotas y=2x e y=-2x](https://i.imgur.com/YourGraphImage.png)
(Nota: Substitua o link da imagem pelo gráfico real da função, se disponível.)
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Se
e
, determine
usando a derivada da função inversa.