Calcule os limites abaixo: lim x 1 x^n-1x-1, com n in N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em cálculo, que ajuda a entender o comportamento de funções quando as variáveis se aproximam de um determinado valor. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão algébrica para simplificar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão . Se tentarmos substituir diretamente, teremos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos de outra estratégia para calcular o limite.

Passo 3

Vamos usar um truque algébrico para simplificar a fração. Sabemos que x^n - 1 = (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1) pode ser fatorado utilizando a identidade de diferença de potências:
x^n-1x-1 = (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1)x - 1
Isso significa que podemos reescrever a expressão original como:

Passo 4

Agora, observamos que o termo (x - 1)(x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1)x - 1 = x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1 está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelá-los (desde que , o que é válido para o limite):

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo lim x 1 (x^n-1 + x^n-2 + dots + x + 1) = 1^n-1 + 1^n-2 + dots + 1 + 1 por 1:
1 + 1 + dots + 1 (n vezes)
Como elevado a qualquer potência continua sendo , a soma vai ser:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados