Sejam f uma função definida em R e p um número real dado. Suponha que lim x p f(x)-f(p)x-p=1. Calcule o limite abaixo:
lim h 0 f(p+h)-f(p-h)h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função definida nos números reais e diz que o limite . Isso significa que a derivada de no ponto é igual a 1. Nosso objetivo é calcular o limite .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que esse limite representa. Ele é uma combinação de duas derivadas: uma positiva ( ) e outra negativa ( ). Vamos separar esses termos para facilitar.

Passo 3

Vamos reescrever o limite assim:
lim h 0 f(p+h)-f(p-h)h = lim h 0 ( f(p+h)-f(p)h + f(p)-f(p-h)h )
Isso é possível porque estamos apenas dividindo a expressão original em duas partes.

Passo 4

Agora, analisamos cada parte separadamente. Sabemos que:
lim h 0 f(p+h)-f(p)h = f'(p) = 1
Isso vem do enunciado que nos deu a derivada no ponto .

Passo 5

Para a segunda parte, observamos que:
lim h 0 f(p)-f(p-h)h = lim h 0 f(p) - f(p-h)h = lim h 0 f(p) - f(p-h)-h times (-1) = f'(p) = 1
Aqui usamos a definição de derivada novamente, mas com negativo.

Resposta

Somando as duas partes, temos . Portanto, o limite é .

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