Sejam
uma função definida em
e
um número real dado. Suponha que
. Calcule o limite abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
definida nos números reais e diz que o limite
. Isso significa que a derivada de
no ponto
é igual a 1. Nosso objetivo é calcular o limite
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que esse limite representa. Ele é uma combinação de duas derivadas: uma positiva (
) e outra negativa (
). Vamos separar esses termos para facilitar.
Passo 3
Vamos reescrever o limite assim:
Isso é possível porque estamos apenas dividindo a expressão original em duas partes.
Passo 4
Agora, analisamos cada parte separadamente. Sabemos que:
Isso vem do enunciado que nos deu a derivada no ponto
.
Passo 5
Para a segunda parte, observamos que:
Aqui usamos a definição de derivada novamente, mas com
negativo.
Resposta
Somando as duas partes, temos
. Portanto, o limite é
.
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Calcule os limites abaixo:
.
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Calcular os seguintes limites usando as propriedades:
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