Sejam uma função definida em e um número real dado. Suponha que . Calcule o limite abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função definida nos números reais e diz que o limite . Isso significa que a derivada de no ponto é igual a 1. Nosso objetivo é calcular o limite .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que esse limite representa. Ele é uma combinação de duas derivadas: uma positiva ( ) e outra negativa ( ). Vamos separar esses termos para facilitar.

Passo 3

Vamos reescrever o limite assim:
Isso é possível porque estamos apenas dividindo a expressão original em duas partes.

Passo 4

Agora, analisamos cada parte separadamente. Sabemos que:
Isso vem do enunciado que nos deu a derivada no ponto .

Passo 5

Para a segunda parte, observamos que:
Aqui usamos a definição de derivada novamente, mas com negativo.

Resposta

Somando as duas partes, temos . Portanto, o limite é .

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