Usando o Teorema do confronto, prove que
lim x 0 x^4 cos (5 / x)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite usando o Teorema do Confronto. Esse teorema é super útil para encontrar limites quando a função é “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos. Aqui, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e como as potências de influenciam o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno sempre fica entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= cos(5x) <= 1
Isso significa que independente do valor de , nunca vai ser menor que -1 nem maior que 1.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade por - x^4 <= x^4 cos(5x) <= x^4 . Mas atenção: como é sempre positivo (já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo), a desigualdade mantém a mesma direção:

Passo 4

Sabemos que o limite de limx 0 x^4 = 0 quando limx 0 -x^4 = 0 tende a 0 é 0:
E claro, o limite de também é 0:

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está sempre entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite. Como vimos que:
- x^4 <= x^4 cos(5x) <= x^4
E que tanto limx 0 x^4 cos(5x) = 0 quanto tendem a 0 quando tende a 0, então:

Resposta

0

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