Usando o Teorema do confronto, prove que
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
usando o Teorema do Confronto. Esse teorema é super útil para encontrar limites quando a função é “presa” entre duas outras funções cujo limite conhecemos. Aqui, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e como as potências de
influenciam o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno sempre fica entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que independente do valor de
,
nunca vai ser menor que -1 nem maior que 1.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade por
. Mas atenção: como
é sempre positivo (já que qualquer número elevado a uma potência par é positivo), a desigualdade mantém a mesma direção:
Passo 4
Sabemos que o limite de
quando
tende a 0 é 0:
E claro, o limite de
também é 0:
Passo 5
Pelo Teorema do Confronto, se uma função está sempre entre duas funções que tendem ao mesmo limite, então ela também tende a esse limite. Como vimos que:
E que tanto
quanto
tendem a 0 quando
tende a 0, então:
Resposta
0