Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Vamos entender qual é a pergunta. Precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas fórmulas básicas de funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador, que é
. Sabemos que, para valores pequenos de
, a função seno pode ser aproximada por seu próprio argumento. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador,
. Usando a expansão da função exponencial para valores próximos de 0, temos:
Portanto,
Passo 4
Substituindo essas aproximações na expressão original, ficamos com:
Passo 5
Agora, simplificamos a fração:
Aqui, os
se cancelam, deixando apenas o número 4.
Passo 6
Como as aproximações usadas são válidas quando
se aproxima de 0, podemos concluir que o limite da expressão original é igual a 4.