Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Vamos entender qual é a pergunta. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas fórmulas básicas de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador, que é . Sabemos que, para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada por seu próprio argumento. Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador, . Usando a expansão da função exponencial para valores próximos de 0, temos:
Portanto,

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original, ficamos com:

Passo 5

Agora, simplificamos a fração:
Aqui, os se cancelam, deixando apenas o número 4.

Passo 6

Como as aproximações usadas são válidas quando se aproxima de 0, podemos concluir que o limite da expressão original é igual a 4.

Resposta

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Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e ,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.