Calcule os limites abaixo:
lim x 0 sen(8 x)e^2 x-1

Passo 1

Vamos entender qual é a pergunta. Precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conceitos de limites e algumas fórmulas básicas de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador, que é sin(8x) approx 8x quando x to 0 . Sabemos que, para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada por seu próprio argumento. Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador, e^2x approx 1 + 2x quando x to 0 . Usando a expansão da função exponencial para valores próximos de 0, temos:
e^2x - 1 approx 2x
Portanto,

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original, ficamos com:
sin(8x)e^2x - 1 approx 8x2x

Passo 5

Agora, simplificamos a fração:
8x2x = 4
Aqui, os se cancelam, deixando apenas o número 4.

Passo 6

Como as aproximações usadas são válidas quando se aproxima de 0, podemos concluir que o limite da expressão original é igual a 4.

Resposta

limx 0 sin(8x)e^2x - 1 = 4

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