Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede: precisamos analisar a função para descobrir onde ela está aumentando ou diminuindo, como é a sua concavidade, encontrar os pontos máximos ou mínimos e, por fim, desenhar o gráfico dela. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função, que nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Dada a função:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero. Esses pontos podem ser onde a função atinge um máximo ou mínimo.
Resolvendo para :
Então, é um ponto crítico.

Passo 4

Vamos analisar o sinal da primeira derivada para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para :
    é
    Isso significa que a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para :
    é
    Aqui, a função está crescendo.

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função.
Derivando novamente:

Passo 6

Vamos analisar o sinal da segunda derivada para determinar a concavidade:
Como é sempre não negativo, é sempre positivo.
  • Concavidade para cima: Quando a segunda derivada é positiva.
Portanto, a função é convexa para cima em todo o seu domínio. Não há mudanças na concavidade, ou seja, não há pontos de inflexão.

Passo 7

Vamos identificar os extremos relativos:
Sabemos que é um ponto crítico. Como a função muda de decrescente para crescente nesse ponto, é um mínimo relativo.
Calculando o valor da função nesse ponto:
Então, o mínimo relativo é o ponto .

Passo 8

Como a concavidade da função não muda e não temos pontos de inflexão, não há mais extremos a considerar além do mínimo já identificado.

Passo 9

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função:
  • Decrescente para
  • Mínimo em
  • Crescente para
  • Concavidade sempre para cima
O gráfico será uma curva suave que desce até o ponto e depois sobe, sempre com a concavidade voltada para cima.

Resposta

A função é decrescente para e crescente para . Sua concavidade está sempre voltada para cima, não possuindo pontos de inflexão. Ela possui um mínimo relativo em . O gráfico da função apresenta uma curva que desce até o ponto e, em seguida, sobe, mantendo a concavidade para cima em todo o domínio.

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Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Calcule os limites abaixo:
Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e ,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo: