Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função
está crescendo ou decrescendo, onde a concavidade dela está para cima ou para baixo, além de encontrar os extremos relativos e os pontos de inflexão. No final, vamos fazer um esboço do gráfico dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas: a primeira para encontrar onde a função está aumentando ou diminuindo, e a segunda para analisar a concavidade. Também vamos identificar os pontos onde essas derivadas são iguais a zero ou não existem, pois esses pontos podem ser candidatos a extremos ou pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se está aumentando ou diminuindo.
A função é
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então
.
Aplicando isso:
-
então -
então
Então,
Passo 3
Agora que temos a primeira derivada
, vamos descobrir onde ela é positiva ou negativa, porque isso nos dirá onde a função
está crescente ou decrescente.
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
- O denominador
é sempre positivo, já que um quadrado nunca é negativo e nunca é zero. - Então, o sinal de
depende apenas do numerador .
Igualando o numerador a zero para encontrar pontos críticos:
Então, temos três intervalos para analisar:
Agora, vamos verificar o sinal de
em cada intervalo:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Passo 4
Agora, vamos encontrar os extremos relativos da função, ou seja, os pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos locais. Esses pontos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe.
Já encontramos que
quando
e
.
Vamos analisar o comportamento da função nesses pontos:
-
Em
: - Antes de
, (decrescente) - Depois de
, (crescente) - Isso indica que
é um mínimo relativo.
- Antes de
-
Em
: - Antes de
, (crescente) - Depois de
, (decrescente) - Isso indica que
é um máximo relativo.
- Antes de
Passo 5
Agora vamos determinar a segunda derivada para analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão.
Vamos derivar novamente a primeira derivada
.
Usaremos a regra do quociente novamente:
Se
, então
.
Aqui:
-
então -
então
Então,
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando
:
Então,
Passo 6
Vamos analisar a segunda derivada
para determinar a concavidade e os pontos de inflexão.
Primeiro, identifiquemos onde
ou não existe:
- O denominador
nunca é zero, então não há pontos onde a segunda derivada não existe. - O numerador é zero quando
, ou seja, quando ou .
Então, os possíveis pontos de inflexão são
,
e
.
Vamos analisar o sinal de
em cada intervalo formado por esses pontos:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Então, os pontos de inflexão são onde a concavidade muda, ou seja, em
,
e
.
Passo 7
Vamos resumir as informações que encontramos:
-
Crescimento e Decrescimento:
- Crescente em
- Decrescente em
e
- Crescente em
-
Concavidade:
- Concava para baixo em
e - Concava para cima em
e
- Concava para baixo em
-
Extremos Relativos:
- Mínimo relativo em
- Máximo relativo em
- Mínimo relativo em
-
Pontos de Inflexão:
-
, e
-
Resposta
A função
é:
- Crescente no intervalo
- Decrescente nos intervalos
e - Concava para cima nos intervalos
e - Concava para baixo nos intervalos
e
Os extremos relativos são:
- Mínimo relativo em
- Máximo relativo em
Os pontos de inflexão estão em:
-
, e
O esboço do gráfico deve refletir esses comportamentos, mostrando as regiões crescentes e decrescentes, as mudanças na concavidade e os pontos onde a função atinge seus extremos e inflexões.
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Calcule os limites abaixo: