Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, onde a concavidade dela está para cima ou para baixo, além de encontrar os extremos relativos e os pontos de inflexão. No final, vamos fazer um esboço do gráfico dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas: a primeira para encontrar onde a função está aumentando ou diminuindo, e a segunda para analisar a concavidade. Também vamos identificar os pontos onde essas derivadas são iguais a zero ou não existem, pois esses pontos podem ser candidatos a extremos ou pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a taxa de variação da função, ou seja, se está aumentando ou diminuindo.
A função é . Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então .
Aplicando isso:
  • então
  • então
Então,

Passo 3

Agora que temos a primeira derivada , vamos descobrir onde ela é positiva ou negativa, porque isso nos dirá onde a função está crescente ou decrescente.
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
  • O denominador é sempre positivo, já que um quadrado nunca é negativo e nunca é zero.
  • Então, o sinal de depende apenas do numerador .
Igualando o numerador a zero para encontrar pontos críticos:
Então, temos três intervalos para analisar:
Agora, vamos verificar o sinal de em cada intervalo:
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :

Passo 4

Agora, vamos encontrar os extremos relativos da função, ou seja, os pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos locais. Esses pontos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe.
Já encontramos que quando e .
Vamos analisar o comportamento da função nesses pontos:
  1. Em :
    • Antes de , (decrescente)
    • Depois de , (crescente)
    • Isso indica que é um mínimo relativo.
  2. Em :
    • Antes de , (crescente)
    • Depois de , (decrescente)
    • Isso indica que é um máximo relativo.

Passo 5

Agora vamos determinar a segunda derivada para analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão.
Vamos derivar novamente a primeira derivada .
Usaremos a regra do quociente novamente:
Se , então .
Aqui:
  • então
  • então
Então,
Vamos simplificar o numerador:
Fatorando :
Então,

Passo 6

Vamos analisar a segunda derivada para determinar a concavidade e os pontos de inflexão.
Primeiro, identifiquemos onde ou não existe:
  • O denominador nunca é zero, então não há pontos onde a segunda derivada não existe.
  • O numerador é zero quando , ou seja, quando ou .
Então, os possíveis pontos de inflexão são , e .
Vamos analisar o sinal de em cada intervalo formado por esses pontos:
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
Então, os pontos de inflexão são onde a concavidade muda, ou seja, em , e .

Passo 7

Vamos resumir as informações que encontramos:
  • Crescimento e Decrescimento:
    • Crescente em
    • Decrescente em e
  • Concavidade:
    • Concava para baixo em e
    • Concava para cima em e
  • Extremos Relativos:
    • Mínimo relativo em
    • Máximo relativo em
  • Pontos de Inflexão:
    • , e

Resposta

A função é:
  • Crescente no intervalo
  • Decrescente nos intervalos e
  • Concava para cima nos intervalos e
  • Concava para baixo nos intervalos e
Os extremos relativos são:
  • Mínimo relativo em
  • Máximo relativo em
Os pontos de inflexão estão em:
  • , e
O esboço do gráfico deve refletir esses comportamentos, mostrando as regiões crescentes e decrescentes, as mudanças na concavidade e os pontos onde a função atinge seus extremos e inflexões.

Exercícios relacionados

Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Calcule os limites abaixo: