Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos
e
,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar crescimento, decrescimento, máximos e mínimos, além de analisar limites para achar assíntotas e pontos de interseção com os eixos. Vamos por partes!
Passo 2
(i) Pontos de interseção com os eixos
e
-
Interseção com o eixo
: Para achar onde a função cruza o eixo , a gente coloca . Mas olha só, se a gente tentar calcular , vai ter divisão por zero porque o denominador é . Então, na verdade, não tem interseção com o eixo . -
Interseção com o eixo
: A função cruza o eixo quando . Ou seja: Para que isso seja zero, o numerador precisa ser zero. Então:Comonunca é zero, temos: Portanto, a interseção com o eixoé em .
Passo 3
(ii) Assíntotas
-
Assíntota vertical: A ass��ntota vertical ocorre onde a função tende ao infinito, ou seja, onde o denominador é zero. Aqui, o denominador é
, então: Portanto, há uma assíntota vertical em. -
Assíntota horizontal ou obliqua: Para achar, analisamos o limite de
quando vai para : Comocresce muito mais rápido que qualquer polinômio, o limite tende a quando e a quando . Assim, não há assíntotas horizontais ou oblíquas.
Passo 4
(iii) Intervalos de crescimento e decrescimento
Para isso, precisamos encontrar a primeira derivada
e ver onde ela é positiva (crescimento) ou negativa (decrescimento).
Primeiro, vamos derivar
. Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, analisamos o sinal de
:
- Para
: e , então o sinal depende de . - Resolvendo
, encontramos os intervalos onde a função cresce ou decresce.
Após os cálculos, descobrimos que:
- A função cresce em
. - A função decresce em
.
Passo 5
(iv) Pontos de máximo e mínimo locais
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais, observamos onde a primeira derivada muda de sinal.
- Em
, a derivada muda de positiva para negativa. Isso indica um ponto de máximo local em .
Não há outros pontos onde a derivada muda de sinal dentro do domínio da função, então não há mínimos locais.
Passo 6
(v) Intervalos de concavidade para cima e para baixo
Aqui, vamos precisar da segunda derivada
.
Derivando
, encontramos
. Após a derivação e simplificação, analisamos onde
é positiva (concavidade para cima) ou negativa (concavidade para baixo).
Após os cálculos, constatamos que:
- A concavidade é para baixo em
. - A concavidade é para cima em
.
Resposta
Resumindo, para a função
:
- Interseções: Apenas em
com o eixo ; não intercepta o eixo . - Assíntotas: Assíntota vertical em
; não há assíntotas horizontais ou oblíquas. - Crescimento/Decrescimento: Cresce em
e decresce em . - Máximos/Mínimos: Máximo local em
; sem mínimos locais. - Concavidade: Para baixo em
e para cima em .
Com base nisso, o gráfico de
tem uma assíntota vertical em
, atinge seu ponto máximo em
, e apresenta concavidade que muda no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.