Seguindo as etapas abaixo:
(i). Determine todos os pontos de interseção com os eixos e ,
(ii). Determine as assíntotas,
(iii). Determine os intervalos de crescimento e decresciment,
(iv). Determine todos os pontos de máximo e mínimo locais,
(v). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar crescimento, decrescimento, máximos e mínimos, além de analisar limites para achar assíntotas e pontos de interseção com os eixos. Vamos por partes!

Passo 2

(i) Pontos de interseção com os eixos e
  • Interseção com o eixo : Para achar onde a função cruza o eixo , a gente coloca . Mas olha só, se a gente tentar calcular , vai ter divisão por zero porque o denominador é . Então, na verdade, não tem interseção com o eixo .
  • Interseção com o eixo : A função cruza o eixo quando . Ou seja:
    Para que isso seja zero, o numerador precisa ser zero. Então:
    Como nunca é zero, temos:
    Portanto, a interseção com o eixo é em .

Passo 3

(ii) Assíntotas
  • Assíntota vertical: A ass��ntota vertical ocorre onde a função tende ao infinito, ou seja, onde o denominador é zero. Aqui, o denominador é , então:
    Portanto, há uma assíntota vertical em .
  • Assíntota horizontal ou obliqua: Para achar, analisamos o limite de quando vai para :
    Como cresce muito mais rápido que qualquer polinômio, o limite tende a quando e a quando . Assim, não há assíntotas horizontais ou oblíquas.

Passo 4

(iii) Intervalos de crescimento e decrescimento
Para isso, precisamos encontrar a primeira derivada e ver onde ela é positiva (crescimento) ou negativa (decrescimento).
Primeiro, vamos derivar . Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, analisamos o sinal de :
  • Para : e , então o sinal depende de .
  • Resolvendo , encontramos os intervalos onde a função cresce ou decresce.
Após os cálculos, descobrimos que:
  • A função cresce em .
  • A função decresce em .

Passo 5

(iv) Pontos de máximo e mínimo locais
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais, observamos onde a primeira derivada muda de sinal.
  • Em , a derivada muda de positiva para negativa. Isso indica um ponto de máximo local em .
Não há outros pontos onde a derivada muda de sinal dentro do domínio da função, então não há mínimos locais.

Passo 6

(v) Intervalos de concavidade para cima e para baixo
Aqui, vamos precisar da segunda derivada .
Derivando , encontramos . Após a derivação e simplificação, analisamos onde é positiva (concavidade para cima) ou negativa (concavidade para baixo).
Após os cálculos, constatamos que:
  • A concavidade é para baixo em .
  • A concavidade é para cima em .

Resposta

Resumindo, para a função :
  1. Interseções: Apenas em com o eixo ; não intercepta o eixo .
  2. Assíntotas: Assíntota vertical em ; não há assíntotas horizontais ou oblíquas.
  3. Crescimento/Decrescimento: Cresce em e decresce em .
  4. Máximos/Mínimos: Máximo local em ; sem mínimos locais.
  5. Concavidade: Para baixo em e para cima em .
Com base nisso, o gráfico de tem uma assíntota vertical em , atinge seu ponto máximo em , e apresenta concavidade que muda no ponto .

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo:
Determine em que intervalos a função dada é crescente e decrescente e em que intervalos a concavidade da função é para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexão e faça um esboço da curva da função.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.
Calcule a derivada da função dada e simplifique a resposta.