Calcule os limites abaixo: lim x a tg x-tg ax-a;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x a tg x-tg ax-a. Esse tipo de limite está relacionado com o estudo de derivadas na matemática, especificamente a derivada da função tangente. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicá-la nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. Matematicamente, a derivada de uma função f(x) em x = a é definida como:
f'(a) = limx a f(x) - f(a)x - a
No nosso caso, a função f(x) é tg x (tangente de x).

Passo 3

Aplicando a definição de derivada à nossa função, temos:
f'(a) = limx a tg x - tg ax - a
Isso significa que o limite que precisamos calcular é, na verdade, a derivada da tangente em x = a.

Passo 4

Agora, vamos lembrar qual é a derivada da função tangente. A derivada de tg x é:
ddx tg x = sec^2 x
Então, substituindo x por a, temos:
f'(a) = sec^2 a

Resposta

Portanto, o limite lim x a tg x-tg ax-a é igual a sec^2 a.

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