Seja
qualquer curva fechada, simples no plano. Mostre que
Passo 1
Então, a gente tem uma curva fechada, simples, no plano, chamada
. A questão pede para mostrar que a integral de linha
é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Isso significa que a integral dupla é zero.
Passo 5
Voltando ao Teorema de Green, como a integral dupla é zero, concluímos que:
Resposta
A integral ao longo da curva
é igual a zero.