Seja C qualquer curva fechada, simples no plano. Mostre que
ointC 3 x^2 y d x+x^3 d y=0

Passo 1

Então, a gente tem uma curva fechada, simples, no plano, chamada ointC 3 x^2 y , dx + x^3 , dy = 0 . A questão pede para mostrar que a integral de linha
é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA que delimita uma região , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
partial Qpartial x = partialpartial x(x^3) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y(3x^2y) = 3x^2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
integral duplaD ( 3x^2 - 3x^2 ) dA = integral duplaD 0 , dA = 0
Isso significa que a integral dupla é zero.

Passo 5

Voltando ao Teorema de Green, como a integral dupla é zero, concluímos que:
ointC 3 x^2 y , dx + x^3 , dy = 0

Resposta

A integral ao longo da curva é igual a zero.

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