Seja qualquer curva fechada, simples no plano. Mostre que

Passo 1

Então, a gente tem uma curva fechada, simples, no plano, chamada . A questão pede para mostrar que a integral de linha
é igual a zero. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Isso significa que a integral dupla é zero.

Passo 5

Voltando ao Teorema de Green, como a integral dupla é zero, concluímos que:

Resposta

A integral ao longo da curva é igual a zero.

Exercícios relacionados

Decida se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas:
Sejam e . Determine as funçöes compostas e e seus respectivos domínios.
Calcule os limites abaixo:
Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
a)