Calcule os limites abaixo:
lim x 0(2 x+1x^2+x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Nesse exercício, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental do Cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver, vamos precisar avaliar a função diretamente no ponto e analisar o resultado.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir 2(0) + 1(0)^2 + 0 = 10 diretamente na função:
Aqui, vemos que o denominador é zero, o que significa que a função não está definida nesse ponto. Isso sugere que o limite pode ser infinito, mas precisamos verificar de qual lado o denominador está se aproximando de zero.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do denominador x^2 + x = x(x + 1) quando se aproxima de 0:
Quando se aproxima de 0, tende a 0 e tende a 1. Portanto, está se aproximando de . Além disso, como está se aproximando de 0 a partir de valores positivos ou negativos, o denominador estará se aproximando de 0 de forma positiva.

Passo 4

Agora, considerando o numerador 2(0) + 1 = 1 , quando se aproxima de 0:
O numerador está se aproximando de 1, que é um número positivo.

Passo 5

Com o numerador se aproximando de 1 e o denominador de 0 positivo, a fração está se aproximando de um número positivo dividido por um número muito pequeno positivo, o que resulta em um valor muito grande positivo.

Resposta

lim x 0(2 x+1x^2+x) = +infty

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